Доказать подобие треугольников Даны два прямоугольных треугольников ABC и XYZ, их гипотенузы параллельны, докажите, что эти треугольники подобны.
Задача создана на концепции сонаправленных векторов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы доказать подобие прямоугольных треугольников ABC и XYZ, воспользуемся свойствами углов и параллельных линий. Пусть гипотенузы треугольников ABC и XYZ, обозначенные как AB и XY, соответственно, параллельны.

Определим углы треугольников:

В треугольнике ABC угол C — это прямой угол, то есть ( \angle C = 90^\circ ).В треугольнике XYZ угол Z — тоже прямой угол, так что ( \angle Z = 90^\circ ).

Используем свойство параллельных линий:

Поскольку ( AB \parallel XY ) и AB является гипотенузой треугольника ABC, а XY — гипотенузой треугольника XYZ, по свойству параллельных линий:
[
\angle A = \angle X \quad (\text{соответствующие углы})
]
[
\angle B = \angle Y \quad (\text{соответствующие углы})
]

Сумма углов в треугольниках:

В треугольнике ABC сумма углов:
[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
]
Подставляем ( \angle C = 90^\circ ):
[
\angle A + \angle B = 90^\circ
]Аналогично, для треугольника XYZ:
[
\angle X + \angle Y + \angle Z = 180^\circ
]
Подставляем ( \angle Z = 90^\circ ):
[
\angle X + \angle Y = 90^\circ
]

Соответствие углов:

С учетом равенства углов:
[
\angle A = \angle X
]
[
\angle B = \angle Y
]

Вывод о подобии:

У треугольника ABC 90° - угол C и два других угла ( \angle A ) и ( \angle B ), которые равны ( \angle X ) и ( \angle Y ) соответственно.У треугольника XYZ 90° - угол Z и два других угла ( \angle X ) и ( \angle Y ).

Таким образом, у нас три пары равных углов: ( \angle A ) и ( \angle X ), ( \angle B ) и ( \angle Y ), и по 90° в каждом треугольнике. Следовательно, по признаку равенства углов (AA), треугольники ABC и XYZ подобны.

Заключение: Треугольники ABC и XYZ являются подобными, что и требовалось доказать.