Алгебра, метод интервалов Не могу понять кое чего в этом методе. Вот у нас неравенство. x^2 - 5x + 6 ≥ 0. x^2- 5x + 6 = 0. Приравняли к 0.(x - 3) (x -2) = 0 А вот тут, как мы разложили на это? Тоесть, в голове это достаточно сложно, особенно в других, более сложных выражениях. Значит, есть какой то способ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, разложение квадратного трёхчлена на множители — это важный шаг в методе интервалов для решения неравенств. Давайте разберём, как мы можем разложить квадратный трёхчлен ( x^2 - 5x + 6 ) на множители, а затем рассмотрим общий метод.

Находим корни уравнения: Прежде чем мы можем разложить трёхчлен, нам нужно найти его корни. Мы можем использовать формулу дискриминанта для этого:
[
D = b^2 - 4ac,
]
где ( a = 1 ), ( b = -5 ), и ( c = 6 ):
[
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.
]
Дискриминант положителен, значит у нас два различных корня.

Находим корни: Используем формулу корней квадратного уравнения:
[
x{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.
]
Подставляем значения:
[
x{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad \frac{4}{2} = 2.
]
Итак, корни - это ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = 3 ).

Разложение на множители: Используя найденные корни, мы можем разложить трёхчлен. Каждый корень ( x = 2 ) и ( x = 3 ) соответствует м фактору в разложении:
[
(x - 2)(x - 3) = 0.
]
То есть ( x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) ).

Решение неравенства: Теперь, когда мы разложили выражение на множители, нам нужно решить неравенство:
[
(x - 2)(x - 3) \geq 0.
]
Находим нули (корни): это точки ( x = 2 ) и ( x = 3 ). Теперь мы делим числовую ось на интервалы:

( (-\infty, 2) )( [2, 3] )( (3, +\infty) )

Теперь выбираем тестовые точки из каждого интервала, подставляем их в выражение ( (x - 2)(x - 3) ) и определяем знак:

Для ( x < 2 ) (например, ( x = 0 )): ((0 - 2)(0 - 3) = 6 > 0).Для ( 2 < x < 3 ) (например, ( x = 2.5 )): ((2.5 - 2)(2.5 - 3) = 0.5(-0.5) < 0).Для ( x > 3 ) (например, ( x = 4 )): ((4 - 2)(4 - 3) = 2 > 0).

Интервалы с необходимым знаком: Теперь собираем информацию:

На интервале ( (-\infty, 2) ) выражение положительное.На интервале ( [2, 3] ) - ноль включает.На интервале ( (3, +\infty) ) выражение положительное.

Согласно условию ( \geq 0 ), решением неравенства будет:
[
(-\infty, 2] \cup [3, +\infty).
]

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен, вы можете использовать дискриминант и формулу корней. Если у вас будут более сложные выражения, подход будет аналогичным — нужно будет находить корни и обрабатывать интервалы.