Не вычисляя дисперсии и стандартное отклонение Не вычисляя дисперсию и стандартное отклонение, определите, чему они будут равны для 356,356,356,356,356

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для набора данных 356, 356, 356, 356, 356 все значения одинаковы.

В таком случае:

Таким образом, дисперсия и стандартное отклонение для данного набора данных равны 0.

Конечно, давайте рассмотрим это более подробно.

**Дано:**

Набор данных состоит из пяти одинаковых чисел:

\[ 356, \ 356, \ 356, \ 356, \ 356 \]

**Цель:**

Определить дисперсию и стандартное отклонение этого набора данных без выполнения вычислений.

**Определения:**

1. **Среднее значение (математическое ожидание):**

\[

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i

\]

где \( n \) — количество элементов в наборе данных.

2. **Дисперсия (\( \sigma^2 \)):**

\[

\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

\]

Дисперсия измеряет среднее квадратичное отклонение элементов набора данных от их среднего значения.

3. **Стандартное отклонение (\( \sigma \)):**

\[

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

\]

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии и также характеризует разброс данных вокруг среднего значения.

**Анализ:**

1. **Вычисление среднего значения:**

Поскольку все числа одинаковы, среднее значение будет равно любому из них:

\[

\bar{x} = \frac{356 + 356 + 356 + 356 + 356}{5} = \frac{5 \times 356}{5} = 356

\]

2. **Вычисление дисперсии:**

Подставляем значения в формулу дисперсии:

\[

\sigma^2 = \frac{1}{5} \left[ (356 - 356)^2 + (356 - 356)^2 + (356 - 356)^2 + (356 - 356)^2 + (356 - 356)^2 \right]

\]

\[

\sigma^2 = \frac{1}{5} \left[ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 \right] = \frac{0}{5} = 0

\]

3. **Вычисление стандартного отклонения:**

\[

\sigma = \sqrt{0} = 0

\]

**Вывод:**

В данном наборе данных все значения идентичны среднему (\( \bar{x} = 356 \)). Это означает, что каждое значение \( x_i \) полностью совпадает со средним, и, следовательно, разница \( (x_i - \bar{x}) \) равна нулю для всех элементов.

Поскольку дисперсия вычисляется как среднее значение квадратов этих разниц, если все разницы равны нулю, дисперсия также будет равна нулю. Соответственно, стандартное отклонение, являющееся квадратным корнем из дисперсии, также будет равно нулю.

**Интуитивное понимание:**

Дисперсия и стандартное отклонение показывают, насколько разбросаны данные относительно среднего значения. Если все данные одинаковы, они полностью "сконцентрированы" в одной точке, и нет никакого разброса. Поэтому и дисперсия, и стандартное отклонение равны нулю.