Остаток от деления многочлена ?^3+??+1
на ?^2+?−1
равен −?. Чему равно ??
Остаток от деления многочлена ?^3+??+1
на ?^2+?−1
равен −?. Чему равно ??

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи сначала запишем многочлен, который мы делим, и делитель:

Пусть ( P(x) = x^3 + ax + 1 ) - это исходный многочлен, который мы делим.
Пусть ( D(x) = x^2 + x - 1 ) - это делитель.

Согласно условию, остаток от деления ( P(x) ) на ( D(x) ) равен ( -x ).

По теореме о делении многочленов мы имеем:
[
P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)
]
где ( Q(x) ) - частное, а ( R(x) ) - остаток. В данном случае остаток ( R(x) ) может быть представлен как ( R(x) = kx + m ), где ( k ) и ( m ) - некоторые коэффициенты (в данном случае ( R(x) = -x )).

Теперь подставим ( P(x) ) и ( R(x) ) в наше уравнение:
[
x^3 + ax + 1 = (x^2 + x - 1) \cdot Q(x) - x
]

Рассмотрим, что ( Q(x) ) - это многочлен второго или первого порядка (так как делим на многочлен второго порядка). Но для упрощенной задачи можно рассмотреть лишь частный случай, а именно, выразим ( Q(x) ) как многочлен первой степени:
[
Q(x) = bx + c
]

Тогда у нас получится:
[
P(x) = (x^2 + x - 1)(bx + c) - x
]

Теперь раскроем скобки:
[
P(x) = (bx^3 + cx^2 + bx^2 + cx - bx - c) - x = bx^3 + (b + c)x^2 + (c - b - 1)x - c
]

Сравниваем коэффициенты с ( P(x) = x^3 + ax + 1 ):

Коэффициент перед ( x^3 ): ( b = 1 )Коэффициент перед ( x^2 ): ( b + c = 0 )Коэффициент перед ( x ): ( c - b - 1 = a )Свободный член: ( -c = 1 )

Подставляем известные значения:

Из ( b = 1 ) имеем ( 1 + c = 0 ) => ( c = -1 ).Подставляем ( c = -1 ) в ( c - b - 1 = a ): (-1 - 1 - 1 = a) => ( a = -3 ).Из ( -c = 1 ) мы видим, что оно также выполняется.

Таким образом, мы нашли значение ( a = -3 ).

Ответ:
[
a = -3
]