Для нахождения остатка от деления многочлена ( P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 3 ) на ( x + 2 ), будем использовать условия, которые вы задали.
Вам известно, что:
При делении ( P(x) ) на ( x - 2 ) остаток равен 27:[P(2) = 2(2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 3 = 27]Подставляя значения, получим:[2 \cdot 8 + 4a + 2b - 3 = 27 \16 + 4a + 2b - 3 = 27 \4a + 2b + 13 = 27 \4a + 2b = 14 \2a + b = 7 \quad (1)]
При делении ( P(x) ) на ( x + 3 ) остаток равен -3:[P(-3) = 2(-3)^3 + a(-3)^2 + b(-3) - 3 = -3]Подставляя значения, получим:[2 \cdot (-27) + 9a - 3b - 3 = -3 \-54 + 9a - 3b - 3 = -3 \9a - 3b - 57 = -3 \9a - 3b = 54 \3a - b = 18 \quad (2)]
Теперь мы можем решить систему уравнений (1) и (2):[2a + b = 7 \quad (1) \3a - b = 18 \quad (2)]
Сложив оба уравнения, получим:[2a + b + 3a - b = 7 + 18 \5a = 25 \a = 5]
Подставим значение ( a ) в уравнение (1):[2(5) + b = 7 \10 + b = 7 \b = 7 - 10 \b = -3]
Теперь у нас есть значения ( a = 5 ) и ( b = -3 ). Теперь наш многочлен:[P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 3]
Теперь мы можем найти остаток от деления ( P(x) ) на ( x + 2 ):[P(-2) = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 3(-2) - 3]Подставляя значения:[= 2(-8) + 5(4) + 6 - 3 \= -16 + 20 + 6 - 3 \= -16 + 20 + 3 \= 7]
Итак, остаток от деления многочлена ( P(x) ) на ( x + 2 ) равен ( 7 ).
Обозначим многочлен как \( P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 3 \).
### Шаг 1. Найдём остаток при делении на \( x - 2 \)
По условию:
\[
P(2) = 27
\]
Подставим \( x = 2 \) в многочлен:
P(2) = 2 \cdot 2^3 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 3
27 = 2 \cdot 8 + 4a + 2b - 3
27 = 16 + 4a + 2b - 3
27 = 13 + 4a + 2b
4a + 2b = 14
2a + b = 7 \quad \text{(уравнение 1)}
### Шаг 2. Найдём остаток при делении на \( x + 3 \)
P(-3) = -3
Подставим \( x = -3 \) в многочлен:
P(-3) = 2 \cdot (-3)^3 + a \cdot (-3)^2 + b \cdot (-3) - 3
-3 = 2 \cdot (-27) + 9a - 3b - 3
-3 = -54 + 9a - 3b - 3
-3 = -57 + 9a - 3b
9a - 3b = 54
3a - b = 18 \quad \text{(уравнение 2)}
### Шаг 3. Решим систему уравнений
Из уравнений 1 и 2:
2a + b = 7
3a - b = 18
Сложим эти два уравнения:
5a = 25
a = 5
Подставим \( a = 5 \) в первое уравнение:
2 \cdot 5 + b = 7
10 + b = 7
b = -3
### Шаг 4. Найдём остаток при делении на \( x + 2 \)
Теперь, когда \( a = 5 \) и \( b = -3 \), наш многочлен:
P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 3
Чтобы найти остаток при делении на \( x + 2 \), подставим \( x = -2 \) в \( P(x) \):
P(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) - 3
= 2 \cdot (-8) + 5 \cdot 4 + 6 - 3
= -16 + 20 + 6 - 3
= 7
**Ответ:** Остаток при делении многочлена на \( x + 2 \) равен \( 7 \).
Для нахождения остатка от деления многочлена ( P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 3 ) на ( x + 2 ), будем использовать условия, которые вы задали.
Вам известно, что:
При делении ( P(x) ) на ( x - 2 ) остаток равен 27:
[
P(2) = 2(2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 3 = 27
]
Подставляя значения, получим:
[
2 \cdot 8 + 4a + 2b - 3 = 27 \
16 + 4a + 2b - 3 = 27 \
4a + 2b + 13 = 27 \
4a + 2b = 14 \
2a + b = 7 \quad (1)
]
При делении ( P(x) ) на ( x + 3 ) остаток равен -3:
[
P(-3) = 2(-3)^3 + a(-3)^2 + b(-3) - 3 = -3
]
Подставляя значения, получим:
[
2 \cdot (-27) + 9a - 3b - 3 = -3 \
-54 + 9a - 3b - 3 = -3 \
9a - 3b - 57 = -3 \
9a - 3b = 54 \
3a - b = 18 \quad (2)
]
Теперь мы можем решить систему уравнений (1) и (2):
[
2a + b = 7 \quad (1) \
3a - b = 18 \quad (2)
]
Сложив оба уравнения, получим:
[
2a + b + 3a - b = 7 + 18 \
5a = 25 \
a = 5
]
Подставим значение ( a ) в уравнение (1):
[
2(5) + b = 7 \
10 + b = 7 \
b = 7 - 10 \
b = -3
]
Теперь у нас есть значения ( a = 5 ) и ( b = -3 ). Теперь наш многочлен:
[
P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 3
]
Теперь мы можем найти остаток от деления ( P(x) ) на ( x + 2 ):
[
P(-2) = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 3(-2) - 3
]
Подставляя значения:
[
= 2(-8) + 5(4) + 6 - 3 \
= -16 + 20 + 6 - 3 \
= -16 + 20 + 3 \
= 7
]
Итак, остаток от деления многочлена ( P(x) ) на ( x + 2 ) равен ( 7 ).
Обозначим многочлен как \( P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 3 \).
### Шаг 1. Найдём остаток при делении на \( x - 2 \)
По условию:
\[
P(2) = 27
\]
Подставим \( x = 2 \) в многочлен:
\[
P(2) = 2 \cdot 2^3 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 3
\]
\[
27 = 2 \cdot 8 + 4a + 2b - 3
\]
\[
27 = 16 + 4a + 2b - 3
\]
\[
27 = 13 + 4a + 2b
\]
\[
4a + 2b = 14
\]
\[
2a + b = 7 \quad \text{(уравнение 1)}
\]
### Шаг 2. Найдём остаток при делении на \( x + 3 \)
По условию:
\[
P(-3) = -3
\]
Подставим \( x = -3 \) в многочлен:
\[
P(-3) = 2 \cdot (-3)^3 + a \cdot (-3)^2 + b \cdot (-3) - 3
\]
\[
-3 = 2 \cdot (-27) + 9a - 3b - 3
\]
\[
-3 = -54 + 9a - 3b - 3
\]
\[
-3 = -57 + 9a - 3b
\]
\[
9a - 3b = 54
\]
\[
3a - b = 18 \quad \text{(уравнение 2)}
\]
### Шаг 3. Решим систему уравнений
Из уравнений 1 и 2:
\[
2a + b = 7
\]
\[
3a - b = 18
\]
Сложим эти два уравнения:
\[
5a = 25
\]
\[
a = 5
\]
Подставим \( a = 5 \) в первое уравнение:
\[
2 \cdot 5 + b = 7
\]
\[
10 + b = 7
\]
\[
b = -3
\]
### Шаг 4. Найдём остаток при делении на \( x + 2 \)
Теперь, когда \( a = 5 \) и \( b = -3 \), наш многочлен:
\[
P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 3
\]
Чтобы найти остаток при делении на \( x + 2 \), подставим \( x = -2 \) в \( P(x) \):
\[
P(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) - 3
\]
\[
= 2 \cdot (-8) + 5 \cdot 4 + 6 - 3
\]
\[
= -16 + 20 + 6 - 3
\]
\[
= 7
\]
**Ответ:** Остаток при делении многочлена на \( x + 2 \) равен \( 7 \).