Многочлен 2?3+??2+??−3
при делении на ?−2
Многочлен 2?^3+??^2+??−3
при делении на ?−2
даёт в остатке 27 , а при делении на ?+3
даёт в остатке −3 . Найдите остаток от деления этого многочлена на ?+2 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения остатка от деления многочлена ( P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 3 ) на ( x + 2 ), будем использовать условия, которые вы задали.

Вам известно, что:

При делении ( P(x) ) на ( x - 2 ) остаток равен 27:
[
P(2) = 2(2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 3 = 27
]
Подставляя значения, получим:
[
2 \cdot 8 + 4a + 2b - 3 = 27 \
16 + 4a + 2b - 3 = 27 \
4a + 2b + 13 = 27 \
4a + 2b = 14 \
2a + b = 7 \quad (1)
]

При делении ( P(x) ) на ( x + 3 ) остаток равен -3:
[
P(-3) = 2(-3)^3 + a(-3)^2 + b(-3) - 3 = -3
]
Подставляя значения, получим:
[
2 \cdot (-27) + 9a - 3b - 3 = -3 \
-54 + 9a - 3b - 3 = -3 \
9a - 3b - 57 = -3 \
9a - 3b = 54 \
3a - b = 18 \quad (2)
]

Теперь мы можем решить систему уравнений (1) и (2):
[
2a + b = 7 \quad (1) \
3a - b = 18 \quad (2)
]

Сложив оба уравнения, получим:
[
2a + b + 3a - b = 7 + 18 \
5a = 25 \
a = 5
]

Подставим значение ( a ) в уравнение (1):
[
2(5) + b = 7 \
10 + b = 7 \
b = 7 - 10 \
b = -3
]

Теперь у нас есть значения ( a = 5 ) и ( b = -3 ). Теперь наш многочлен:
[
P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 3
]

Теперь мы можем найти остаток от деления ( P(x) ) на ( x + 2 ):
[
P(-2) = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 3(-2) - 3
]
Подставляя значения:
[
= 2(-8) + 5(4) + 6 - 3 \
= -16 + 20 + 6 - 3 \
= -16 + 20 + 3 \
= 7
]

Итак, остаток от деления многочлена ( P(x) ) на ( x + 2 ) равен ( 7 ).

Обозначим многочлен как \( P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 3 \).

### Шаг 1. Найдём остаток при делении на \( x - 2 \)

По условию:

\[

P(2) = 27

\]

Подставим \( x = 2 \) в многочлен:

\[

P(2) = 2 \cdot 2^3 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 3

\]

\[

27 = 2 \cdot 8 + 4a + 2b - 3

\]

\[

27 = 16 + 4a + 2b - 3

\]

\[

27 = 13 + 4a + 2b

\]

\[

4a + 2b = 14

\]

\[

2a + b = 7 \quad \text{(уравнение 1)}

\]

### Шаг 2. Найдём остаток при делении на \( x + 3 \)

По условию:

\[

P(-3) = -3

\]

Подставим \( x = -3 \) в многочлен:

\[

P(-3) = 2 \cdot (-3)^3 + a \cdot (-3)^2 + b \cdot (-3) - 3

\]

\[

-3 = 2 \cdot (-27) + 9a - 3b - 3

\]

\[

-3 = -54 + 9a - 3b - 3

\]

\[

-3 = -57 + 9a - 3b

\]

\[

9a - 3b = 54

\]

\[

3a - b = 18 \quad \text{(уравнение 2)}

\]

### Шаг 3. Решим систему уравнений

Из уравнений 1 и 2:

\[

2a + b = 7

\]

\[

3a - b = 18

\]

Сложим эти два уравнения:

\[

5a = 25

\]

\[

a = 5

\]

Подставим \( a = 5 \) в первое уравнение:

\[

2 \cdot 5 + b = 7

\]

\[

10 + b = 7

\]

\[

b = -3

\]

### Шаг 4. Найдём остаток при делении на \( x + 2 \)

Теперь, когда \( a = 5 \) и \( b = -3 \), наш многочлен:

\[

P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 3

\]

Чтобы найти остаток при делении на \( x + 2 \), подставим \( x = -2 \) в \( P(x) \):

\[

P(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) - 3

\]

\[

= 2 \cdot (-8) + 5 \cdot 4 + 6 - 3

\]

\[

= -16 + 20 + 6 - 3

\]

\[

= 7

\]

**Ответ:** Остаток при делении многочлена на \( x + 2 \) равен \( 7 \).