Пусть ?(?) и ?(?)
— приведённые многочлены четвёртой степени, ?(?)
Пусть ?(?)
и ?(?)
— приведённые многочлены четвёртой степени, ?(?)
— приведённый многочлен третьей степени. Выберите все верные утверждения.


?(?)+?(?)
может иметь 3
корня


?(?)+?(?)
может иметь 4
корня


?(?)+?(?)
может иметь 5
корней


?(?)−?(?)
может иметь 3
корня


?(?)−?(?)
может иметь 4
корня


?(?)−?(?)
может иметь 5
корней


?(?)⋅?(?)
может иметь 6
корней


?(?)⋅?(?)
может иметь 7
корней


?(?)⋅?(?)
может иметь 8
корней

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для анализа корней многочленов, давайте вспомним некоторые свойства:

Сумма двух многочленов: Сумма двух многочленов четвёртой степени ( P(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 ) и ( Q(x) = b_4 x^4 + b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0 ) остаётся многочленом четвёртой степени. Такой многочлен может иметь от 0 до 4 корней.

Разность двух многочленов: Разность двух многочленов четвёртой степени также остаётся многочленом четвёртой степени, и может иметь от 0 до 4 корней.

Произведение двух многочленов: Произведение двух приведённых многочленов четвёртой степени даёт многочлен восьмой степени. Он может иметь от 0 до 8 корней.

Сложение многочлена четвёртой и третьей степени: Сложение четвёртой степени и третьей степени остаётся многочленом четвертой степени, который может иметь от 0 до 4 корней.

С учётом этих свойств, перечислим ваши утверждения:

( P(x) + Q(x) ) может иметь 3 корня — верно (возможны ситуации с 0, 1, 2, 3 или 4 корнями).

( P(x) + Q(x) ) может иметь 4 корня — верно.

( P(x) + Q(x) ) может иметь 5 корней — неверно, так как сумма остаётся многочленом четвёртой степени.

( P(x) - Q(x) ) может иметь 3 корня — верно.

( P(x) - Q(x) ) может иметь 4 корня — верно.

( P(x) - Q(x) ) может иметь 5 корней — неверно, по той же причине, что разность остаётся многочленом четвёртой степени.

( P(x) \cdot Q(x) ) может иметь 6 корней — верно, так как возможно, что один из многочленов имеет 2 корня, а другой 4, или другие варианты.

( P(x) \cdot Q(x) ) может иметь 7 корней — верно, аналогично.

( P(x) \cdot Q(x) ) может иметь 8 корней — верно, если оба многочлена имеют по 4 корня.

Подводя итог, правильные утверждения: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9.