Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. Проведите плоскость СДА1. Докажите, что В1 лежит в этой же плоскости

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что точка ( B_1 ) лежит в плоскости ( CDA_1 ) прямоугольного параллелепипеда ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), следует рассмотреть расположение всех точек.

Определим точки параллелепипеда:

Определим плоскость ( CDA_1 ):
Плоскость образована тремя точками: ( C(1, 1, 0) ), ( D(0, 1, 0) ) и ( A_1(0, 0, 1) ).
Чтобы найти уравнение этой плоскости, можем рассмотреть векторы:
[
\vec{CD} = D - C = (0, 1, 0) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 0)
]
[
\vec{CA_1} = A_1 - C = (0, 0, 1) - (1, 1, 0) = (-1, -1, 1)
]

Теперь найдем нормальный вектор плоскости ( CDA_1 ) с помощью векторного произведения:
[
\vec{n} = \vec{CD} \times \vec{CA_1} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
-1 & 0 & 0 \
-1 & -1 & 1
\end{vmatrix}
= \hat{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \hat{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot -1) + \hat{k}(-1 \cdot -1 - 0 \cdot -1)
= \hat{i}(0) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(1)
= \hat{j} + \hat{k}
]
Следовательно, нормальный вектор ( \vec{n} = (0, 1, 1) ).

Уравнение плоскости:
С учетом нормального вектора, плоскость может быть описана уравнением:
[
n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0,
]
где ((x_0, y_0, z_0)) - координаты одной из точек, например ( C(1, 1, 0) ):
[
0(x - 1) + 1(y - 1) + 1(z - 0) = 0,
]
или
[
y + z - 1 = 0 \Rightarrow y + z = 1.
]

Проверим точку ( B_1 ):
Теперь подставим координаты точки ( B_1(1, 0, 1) ) в уравнение плоскости:
[
0 + 1 = 1.
]
Это уравнение выполняется, что значит ( B_1 ) лежит в плоскости ( CDA_1 ).

Таким образом, мы доказали, что точка ( B_1 ) принадлежит плоскости ( CDA_1 ).

Для доказательства того, что точка ( B_1 ) лежит в плоскости ( CDA_1 ) прямоугольного параллелепипеда ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), следует рассмотреть расположение всех точек.

Определим точки параллелепипеда:

Пусть ( A(0, 0, 0) )( B(1, 0, 0) )( C(1, 1, 0) )( D(0, 1, 0) )( A_1(0, 0, 1) )( B_1(1, 0, 1) )( C_1(1, 1, 1) )( D_1(0, 1, 1) )

Определим плоскость ( CDA_1 ):

Плоскость образована тремя точками: ( C(1, 1, 0) ), ( D(0, 1, 0) ) и ( A_1(0, 0, 1) ).

Чтобы найти уравнение этой плоскости, можем рассмотреть векторы:

[

\vec{CD} = D - C = (0, 1, 0) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 0)

]

[

\vec{CA_1} = A_1 - C = (0, 0, 1) - (1, 1, 0) = (-1, -1, 1)

]

Теперь найдем нормальный вектор плоскости ( CDA_1 ) с помощью векторного произведения:

[

\vec{n} = \vec{CD} \times \vec{CA_1} =

\begin{vmatrix}

\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \

-1 & 0 & 0 \

-1 & -1 & 1

\end{vmatrix}

= \hat{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \hat{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot -1) + \hat{k}(-1 \cdot -1 - 0 \cdot -1)

= \hat{i}(0) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(1)

= \hat{j} + \hat{k}

]

Следовательно, нормальный вектор ( \vec{n} = (0, 1, 1) ).

Уравнение плоскости:

С учетом нормального вектора, плоскость может быть описана уравнением:

[

n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0,

]

где ((x_0, y_0, z_0)) - координаты одной из точек, например ( C(1, 1, 0) ):

[

0(x - 1) + 1(y - 1) + 1(z - 0) = 0,

]

или

[

y + z - 1 = 0 \Rightarrow y + z = 1.

]

Проверим точку ( B_1 ):

Теперь подставим координаты точки ( B_1(1, 0, 1) ) в уравнение плоскости:

[

0 + 1 = 1.

]

Это уравнение выполняется, что значит ( B_1 ) лежит в плоскости ( CDA_1 ).

Таким образом, мы доказали, что точка ( B_1 ) принадлежит плоскости ( CDA_1 ).