Задача про графы На каждой стороне правильного треугольника были выбраны по 3 точки так, чтобы разбить стороны на равные отрезки. Сколькими способами можно на этих точках построить восьмизвенную незамкнутую ломанную без самопересечений? Звенья ломаной могут лежать на одной прямой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи начнем с анализа структуры задачи.

Правильный треугольник: Правильный треугольник имеет три стороны и на каждой стороне выбрано по три точки, что дает в сумме 3 * 3 = 9 точек на сторонах треугольника.

Создание восьмизвенной ломаной: Из 9 доступных точек мы хотим построить незамкнутую ломаную из 8 звеньев. Это значит, что мы будем использовать 9 точек и соединить их в последовательности, которая не пересекается.

Учитывая, что ломаная должна быть незамкнутой, последний (восьмой) отрезок может быть проведен между одной из выбранных точек и какой-либо из 8 оставшихся.

Выбор точек: Ломаную можно строить, начиная с любой точки и выбирая следующую по заданным правилам. Учитывая, что самопересечения не допускаются, после каждого выбора следующей точки количество доступных точек будет уменьшаться.

Подход к решению: Поскольку у нас нет самопересечений, ломаная будет представлять собой последовательность, в которой не будет использоваться одна и та же точка дважды. Это соответствует выбору 8 из 9 точек, а затем любой перестановкой каждой из последовательностей этих выбранных точек.

Счет:

Поскольку у нас 9 точек, мы можем выбрать 8 из них. Существует C(9, 8) = 9 способов выбора 8 точек.Соответственно, существуют 8! (факториал восьми) способов упорядочить 8 выбранных точек.

Общее количество способов построить восьмизвенную ломаную будет равно:

[
C(9, 8) \times 8! = 9 \times 40320 = 362880.
]

Таким образом, количество способов построить восьмизвенную незамкнутую ломаную без самопересечений на выбранных точках равно 362880.