Решите это задание по геометрии Параллельно оси цилиндра проведена плоскость . найти площадь сечения , если его диагональ равна 16 см , радиус основания цилиндра 8 см , а сечение пересекает основание по хорде , которая стягивает дугу 120° .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти площадь сечения, сначала определим его форму. Плоскость, пересекающая цилиндр параллельно его оси, образует сечение, представляющее собой трапецию или прямоугольник, в зависимости от положения плоскости. В данном случае, поскольку сечение образовано хордами, мы можем использовать метод, основанный на нахождении площади сектора круга и треугольника.

Диагональ сечения: Диагональ сечения равна 16 см.

Радиус основания цилиндра: ( R = 8 ) см.

Хорда: Сечение пересекает основание по хорде, которая стягивает дугу ( 120^\circ ).

Площадь сектора: Площадь сектора круга с радиусом ( R ) и углом ( \theta ) (в радианах) вычисляется по формуле:
[
S = \frac{R^2 \cdot \theta}{2}
]
Чтобы перевести градусы в радианы, используем формулу:
[
\theta = \frac{120^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3} \text{ радиан}
]
Тогда площадь сектора будет:
[
S = \frac{8^2 \cdot \frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{64 \cdot \frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{64\pi}{3} \text{ см}^2
]

Площадь треугольника: Чтобы найти площадь треугольника, образованного радиусами и хордой, найдем длину хорды. Длина хорды ( c ) пересекает угол ( \theta ):
[
c = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
]
Таким образом, для нашей задачи:
[
c = 2 \cdot 8 \cdot \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = 16 \cdot \sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см}
]

Теперь мы можем найти площадь треугольника, использовав формулу:
[
S{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)
]
где ( a ) и ( b ) — длины двух радиусов, ( C ) — угол между ними:
[
S{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2
]

Площадь сечения: Теперь, чтобы найти площадь сечения, вычтем площадь треугольника из площади сектора:
[
S{\text{сечение}} = S{\text{сектор}} - S_{\text{треугольник}} = \frac{64\pi}{3} - 16\sqrt{3} \text{ см}^2
]

Площадь сечения цилиндра равна:
[
S = \frac{64\pi}{3} - 16\sqrt{3} \text{ см}^2
]

Это конечный результат для площади сечения, если вы хотите численное значение, можете подставить числа в (\pi) и (\sqrt{3}).