Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и проходящей через точки М (0;1;3) и Е (2;4;5).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Плоскость, параллельная оси OX, будет иметь нормальный вектор, который не содержит компоненты по оси X. Это означает, что нормальный вектор будет иметь вид ( \vec{n} = (0, a, b) ), где ( a ) и ( b ) - произвольные значения.

Для нахождения уравнения плоскости мы можем использовать общую формулу для плоскости:

[
Ax + By + Cz + D = 0
]

Где ( A, B, C ) - координаты нормального вектора, а ( D ) - постоянная.

Раз так как нормальный вектор будет вида ( (0, a, b) ), уравнение плоскости может быть записано как:

[
0 \cdot x + A \cdot y + B \cdot z + D = 0
]

Или просто

[
Ay + Bz + D = 0
]

Теперь найдем точку, через которую проходит плоскость. У нас есть две точки: ( M(0; 1; 3) ) и ( E(2; 4; 5) ). Плоскость будет проходить через любую из этих точек.

Подставим точку ( M(0; 1; 3) ) в уравнение:

[
A \cdot 1 + B \cdot 3 + D = 0
]

И ее же можем использовать, если подставим вторую точку ( E(2; 4; 5) ):

[
A \cdot 4 + B \cdot 5 + D = 0
]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

Теперь вычтем Уравнение 1 из Уравнения 2:

[
(4A + 5B + D) - (A + 3B + D) = 0
]

Упрощая, получаем:

[
3A + 2B = 0
]

Из этого уравнения можем выразить ( A ) через ( B ):

[
A = -\frac{2}{3}B
]

Теперь, можем взять, например, ( B = 3 ) (произвольное значение):

Тогда:

[
A = -2
]

Подставляем значения ( A ) и ( B ) в одно из уравнений, чтобы найти ( D ):

Подставим в Уравнение 1:

[
-2 + 3 \cdot 3 + D = 0
]

Или:

[
-2 + 9 + D = 0
]
[
D = -7
]

Таким образом, у нас имеются значения:

Теперь подставляем в общее уравнение плоскости:

[
-2y + 3z - 7 = 0
]

Или, если переписать в стандартном виде:

[
2y - 3z + 7 = 0
]

Это и есть уравнение плоскости, параллельной оси OX и проходящей через данное точки ( M ) и ( E ).