Уравнение x3+30x2+300x+1008=0 !!! Рассмотрим уравнение x3+30x2+300x+1008=0
Выделите в левой части полный куб, то есть представьте уравнение в виде (x+a)3+b=0

Чему равно a?
Введите все решения исходного уравнения. ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы выделить полный куб в уравнении ( x^3 + 30x^2 + 300x + 1008 = 0 ), давайте сначала попробуем представить его в виде ( (x + a)^3 + b = 0 ).

Распишем куб выражения ( (x + a)^3 ):

[
(x + a)^3 = x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3
]

Сравним коэффициенты при ( x^2 ), ( x ) и свободный член с коэффициентами в нашем уравнении.

У нас есть ( 3a = 30 ), отсюда ( a = \frac{30}{3} = 10 ).Теперь найдем значение ( b ). Для этого подставим ( a ) в расширенное выражение:

[
(x + 10)^3 = x^3 + 30x^2 + 300x + 1000
]

Теперь сравним это с нашим уравнением, чтобы найти ( b ):

[
x^3 + 30x^2 + 300x + (1000 + b) = 0
]

Сравниваем свободные члены:

[
1000 + b = 1008 \implies b = 1008 - 1000 = 8
]

Таким образом, наше уравнение можно записать в виде:

[
(x + 10)^3 + 8 = 0
]

Или в более удобной форме:

[
(x + 10)^3 = -8
]

Теперь мы можем найти корни. Для этого извлекаем кубический корень:

[
x + 10 = -2
]

Таким образом:

[
x = -2 - 10 = -12
]

Рассмотрим, что у кубического уравнения может быть три корня, но поскольку ( (x + 10)^3 = -8 ), единственный корень в действительных числах:

Один действительный корень: ( x_1 = -12 ).

Комплексные корни можно найти, заметив, что у нас могут быть такие корни, как ( x + 10 = -2 ) и два комплексных числа из тригонометрической формы:

Из-за энергии третьего кубического корня, следующие корни будут:
[
x + 10 = -2 \text{ и } x + 10 = -2\left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ и } x + 10 = -2\left(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
]

Таким образом, у нас есть один действительный корень и два комплексных конъюнктуры.

Обобщая:

( x_1 = -12 )( x_2 = -8 + i\sqrt{3} )( x_3 = -8 - i\sqrt{3} )

Ответ:

( a = 10 )Решения уравнения: ( x_1 = -12, x_2 = -8 + i\sqrt{3}, x_3 = -8 - i\sqrt{3} ).