Олимпиадная задача по математике Про новый поезд известно, что 52% его вагонов фиолетовые, а также что никакие два соседних вагона не покрашены в один цвет. Какое наибольшее количество вагонов поезда могло оказаться красными?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи обозначим количество вагонов поезда как ( n ).

По условию, 52% вагонов фиолетовые (позначим количество таких вагонов как ( k_f )). Это можно записать как:
[
k_f = 0.52n
]
Так как количество вагонов должно быть целым числом, ( n ) должно быть таким, чтобы ( 0.52n ) — целое число. Это означает, что ( n ) должно делиться на 25, поскольку 52% можно представить как ( \frac{52}{100} = \frac{13}{25} ).

Пусть ( n = 25m ) для некоторого целого ( m ). Тогда количество фиолетовых вагонов:
[
k_f = 0.52 \times 25m = 13m
]

Следовательно, количество нефиолетовых вагонов (красных, в данном случае) будет равно:
[
k_r = n - k_f = 25m - 13m = 12m
]

Поскольку никакие два соседних вагона не могут быть одного цвета, мы можем использовать такой подход, чтобы определить, где мы можем разместить красные вагоны.

Мы можем чередовать фиолетовые и красные вагоны, начиная с фиолетового:

( F R F R ... F )

Либо начинать с красного, но учитывая, что фиолетовых вагонов больше (52% конечно подразумевает, что их больше половины), мы начнем с фиолетового.

Если количество фиолетовых вагонов ( k_f ) и красных вагонов ( k_r ) составляет ( n = 25m ), то:
( k_f = 13m )( k_r = 12m )

Сейчас у нас есть:

( 13m ) фиолетовых вагонов( 12m ) красных вагонов

Мы можем чередовать фиолетовые и красные вагоны. Так как у нас 13 фиолетовых вагонов, мы можем разместить их следующим образом:

Позиции фиолетовых вагонов:
F R F R F R F R F R F R F И еще один F (последний фиолетовый), который можно разместить в конце.

Заметим, что у нас получится так:

1 фиолетовый в начале, затем по 1 красному, и в конце снова один фиолетовый.
Это дает нам 13 Ф и 12 Р.

Теперь можно подвести итог:
Наибольшее количество красных вагонов при условии, что 52% из ( 25m ) вагонов цветные (фиолетовые), это ( 12m ).

В итоге, наибольшее количество красных вагонов в поезде может составить:
[
\boxed{12}
]