Решите задачу подробно В параллелограмме ABCD точка P середина AD.На отрезке BP взяли точку F, такую, что уголDFP = углуABP.Найдите длину отрезка FD, если стороны параллелограмма AB=7,BC=9

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В данной задаче дан параллелограмм ABCD и точка P — середина стороны AD. Также известно, что на отрезке BP выбрана точка F, такая, что угол DFP равен углу ABP. Нужно найти длину отрезка FD, если стороны параллелограмма AB = 7 и BC = 9.

Намесим координаты точек:
Положим A(0, 0), B(7, 0) (так как AB = 7), C(7, 9) и D(0, 9) (так как BC = 9).

Найдем координаты точки P:
Точка P — середина отрезка AD. Тогда:
[
P = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 9}{2} \right) = \left( 0, \frac{9}{2} \right)
]

Найдем координаты точки F:
Для начала найдем углы, о которых идет речь в задаче.

Вектор DP:
[
\overrightarrow{DP} = P - D = \left( 0, \frac{9}{2} \right) - (0, 9) = \left( 0, -\frac{9}{2} \right)
]

Вектор AB:
[
\overrightarrow{AB} = B - A = (7, 0) - (0, 0) = (7, 0)
]

Теперь найдем угол ABP и угол DFP:
Для нахождения угла между векторами можно использовать скалярное произведение.

Сначала найдем углы. Но удобнее будет применить свойства подобных треугольников, так как углы равны.

ТTriangle ABP и DFP будут подобны.

Длины отрезков:
По свойству подобных треугольников:
[
\frac{AB}{DF} = \frac{BP}{DP}
]

Длина отрезка AB:
[
AB = 7
]

Длина отрезка DP равна:
[
DP = \frac{9}{2}
]

Чтобы найти BP, нужно найти расстояние от B до P. Находим векторы:
[
\overrightarrow{BP} = P - B = \left( 0, \frac{9}{2} \right) - (7, 0) = \left( -7, \frac{9}{2} \right)
]

Длина BP:
[
BP = \sqrt{(-7)^2 + \left( \frac{9}{2} \right)^2} = \sqrt{49 + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{196}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{277}{4}} = \frac{\sqrt{277}}{2}
]

Найдём FD:
Так как углы равны, можно записать:
[
\frac{AB}{DF} = \frac{BP}{DP}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{7}{DF} = \frac{\frac{\sqrt{277}}{2}}{\frac{9}{2}}
]

Упрощаем:
[
\frac{7}{DF} = \frac{\sqrt{277}}{9}
]

Выразим DF:
[
DF = \frac{7 \cdot 9}{\sqrt{277}} = \frac{63}{\sqrt{277}}
]

Таким образом, длина отрезка FD равна ( \frac{63}{\sqrt{277}} ).

Ответ: ( FD = \frac{63}{\sqrt{277}} ).