Вероятность и статистика Два собаковода регулярно выгуливают своих собак в парке. Каждый из них независимо от другого приходит туда в случайный момент времени с 6
до 9
вечера и гуляет один час. Найдите вероятность того, что по крайней мере один из них будет находиться в парке в 7
часов вечера.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи мы будем использовать вероятностный подход.

Пусть собаководы назовем A и B. Каждый из них приходит в парк в момент времени, который равномерно распределен на интервале от 0 до 180 минут (от 6:00 до 9:00 вечера). Таким образом, для каждого собаковода время его прихода может быть обозначено как (X_A) и (X_B).

Собаководы гуляют по одному часу. Рассмотрим момент времени 7:00 вечера, который соответствует 60 минутам (то есть ( t = 60 )).

Определим временные рамки, когда собаководы находятся в парке:Если A пришел в момент времени (X_A), то он будет в парке с (X_A) до (X_A + 60) минут.Если B пришел в момент времени (X_B), то он будет в парке с (X_B) до (X_B + 60) минут.

А теперь найдем, при каких условиях хотя бы один собаковод будет в парке в 7:00.

Собаковод A будет в парке в 7:00, если: [
X_A \leq 60 < X_A + 60 \implies 0 \leq X_A < 60.
]
Это означает, что A должен прийти в парк в интервале от 6:00 до 7:00 (0 до 60 минут).

Собаковод B будет в парке в 7:00, если: [
X_B \leq 60 < X_B + 60 \implies 0 \leq X_B < 60.
]
То же самое здесь, B также должен прийти до 7:00 (0 до 60 минут).

Теперь определим вероятность того, что хотя бы один из собаководов будет в парке в 7:00.

Найдем вероятность того, что оба собаковода не находятся в парке в 7:00.

Вероятность того, что A приходит позже 7:00 (т.е. в интервале 60 до 180 минут) равна:
[
P(X_A > 60) = \frac{180 - 60}{180 - 0} = \frac{120}{180} = \frac{2}{3}.
]

Аналогично, вероятность того, что B приходит позже 7:00:
[
P(X_B > 60) = \frac{120}{180} = \frac{2}{3}.
]

Вероятность того, что оба собаковода не находятся в парке в 7:00: Так как приходы A и B независимы, вероятность того, что оба не находятся в парке, будет произведением вероятностей:
[
P(X_A > 60 \cap X_B > 60) = P(X_A > 60) \cdot P(X_B > 60) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}.
]

Теперь найдем вероятность того, что хотя бы один из собаководов будет в парке в 7:00: [
P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - P(X_A > 60 \cap X_B > 60) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}.
]

Таким образом, вероятность того, что по крайней мере один из собаководов будет находиться в парке в 7 часов вечера, составляет:
[
\frac{5}{9}.
]