Определить интервалы монотонности функций Y = x³ - 3x² -24x + 72

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения интервалов монотонности функции ( Y = x^3 - 3x^2 - 24x + 72 ) необходимо сначала найти ее производную и затем анализировать ее знак.

Найдем производную функции:
[
Y' = \frac{dY}{dx} = 3x^2 - 6x - 24
]

Пусть производная равна нулю, найдем критические точки:
[
3x^2 - 6x - 24 = 0
]
Делим уравнение на 3:
[
x^2 - 2x - 8 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}
]
[
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}
]
Таким образом, получаем два корня:
[
x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2
]

Определим интервалы для анализа знака производной:
Мы имеем три интервала: ( (-\infty, -2) ), ( (-2, 4) ), ( (4, +\infty) ).

Проверим знак производной в каждом интервале:

Для ( x < -2 ) (например, ( x = -3 )):
[
Y'(-3) = 3(-3)^2 - 6(-3) - 24 = 27 + 18 - 24 = 21 > 0
]
(функция возрастает)

Для ( -2 < x < 4 ) (например, ( x = 0 )):
[
Y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 24 = -24 < 0
]
(функция убывает)

Для ( x > 4 ) (например, ( x = 5 )):
[
Y'(5) = 3(5)^2 - 6(5) - 24 = 75 - 30 - 24 = 21 > 0
]
(функция возрастает)

Вывод:

Интервал ( (-\infty, -2) ): функция возрастает.Интервал ( (-2, 4) ): функция убывает.Интервал ( (4, +\infty) ): функция возрастает.

Таким образом, интервалы монотонности функции:

Возрастает на ( (-\infty, -2) ) и ( (4, +\infty) )Убывает на ( (-2, 4) )