Определить интервалы монотонности функций y = √4-x²

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения интервалов монотонности функции ( y = \sqrt{4 - x^2} ) необходимо найти производную функции и исследовать её знак.

Определим область определения функции:

Функция ( y = \sqrt{4 - x^2} ) определена, когда подкоренное выражение неотрицательно:
[
4 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 4 \implies -2 \leq x \leq 2.
]
Таким образом, область определения функции: ( x \in [-2, 2] ).

Найдем производную функции: Используя правило дифференцирования корня, найдём производную:
[
y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{4 - x^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{4 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}.
]

Определим знаки производной:

Рассмотрим знак производной ( y' ):

Поскольку ( \sqrt{4 - x^2} > 0 ) для ( x \in (-2, 2) ), знаки производной определяются знаком числителя -( x ):
( y' > 0 ) при ( x < 0 ) (функция возрастает).( y' = 0 ) при ( x = 0 ).( y' < 0 ) при ( x > 0 ) (функция убывает).Составим интервалы монотонности:

На основании вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что:

( y ) возрастает на интервале ( (-2, 0) )Достигает максимума в точке ( x = 0 )( y ) убывает на интервале ( (0, 2) )

Таким образом, интервалы монотонности функции ( y = \sqrt{4 - x^2} ):

Функция возрастает на интервале ( (-2, 0) ).Функция убывает на интервале ( (0, 2) ).