Математика производные. уравнение касательной Составьте уравнение касательной к графику функции f (x) = (х + 1)^2 (x-3)^2?, параллельной прямой y =5+12х, если абсцисса точки касания - целое число. у меня получилась прямая y=9+12x, это верно, но уч написал "2 касательные"

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( f(x) = (x + 1)^2 (x - 3)^2 ), которая будет параллельна прямой ( y = 5 + 12x ), нам необходимо выполнить несколько шагов.

Найдем производную функции ( f(x) ), поскольку производная в какой-то точке дает значение углового коэффициента касательной в этой точке.

[
f(x) = (x + 1)^2 (x - 3)^2
]
Используем правило произведения:

[
f'(x) = (u'v + uv'), \quad u = (x + 1)^2, \quad v = (x - 3)^2
]
Где:
[
u' = 2(x + 1), \quad v' = 2(x - 3)
]

Теперь вычислим производную:

[
f'(x) = 2(x + 1)(x - 3)^2 + (x + 1)^2 \cdot 2(x - 3)
]
[
= 2(x - 3)[(x + 1)(x - 3) + (x + 1)^2]
]
[
= 2(x - 3)(x^2 - 2x - 3 + x^2 + 2x + 1) = 2(x - 3)(2x^2 - 2)
]
[
= 4(x - 3)(x^2 - 1) = 4(x - 3)(x - 1)(x + 1)
]

Теперь мы ищем такие ( x ), что угловой коэффициент ( f'(x) = 12 ):

[
4(x - 3)(x - 1)(x + 1) = 12
]

Разделим обе стороны на 4:

[
(x - 3)(x - 1)(x + 1) = 3
]

Решим уравнение:

[
(x - 3)(x^2 - 1) = 3
]
[
x^3 - 3x^2 - x + 3 - 3 = 0
]
[
x^3 - 3x^2 - x = 0
]
Вынесем ( x ):

[
x(x^2 - 3x - 1) = 0
]

Теперь находим корни. Один из корней ( x = 0 ), а остальные можно найти из квадратного уравнения:

[
x^2 - 3x - 1 = 0
]
Используя дискриминант:

[
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13
]
Корни:

[
x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}
]

Сравним корни:

( x = 0 ) - целое.( x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} ) и ( x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} ) - нецелые.

Получим уравнение касательной в точке ( x = 0 ):

[
f(0) = (0 + 1)^2 (0 - 3)^2 = 1 \cdot 9 = 9
]
Касательная: ( y - 9 = 12(x - 0) ), то есть

[
y = 12x + 9
]

Так как уравнение ( y = 5 + 12x ) может иметь другое значение ( C ) для углового коэффициента ( 12), у вас могло получиться ( y = 12x + C ) с ( 2 касательными ), значит, есть еще одно ( x ), которое даёт целое значение.

Попробуйте проверить остальные значения ( x ) параллельной касательной на целых значениях между ( x=1 ) до ( x=2) и так далее, чтобы найти еще одну точку касания.