Задача по математике из олимпиады Восьмой член арифметической прогрессии в 4 раз меньше пятого члена геометрической прогрессии и на 50% меньше, чем четвёртый член геометрической прогрессии.
Третий член геометрической прогрессии в 2 раза больше третьего члена арифметической прогрессии и на 8 больше, чем четвёртого член арифметической прогрессии.
Найдите сумму первых членов геометрической и арифметической прогрессий, учитывая, что они являются натуральными числами.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим первый член арифметической прогрессии как ( a ), а разность как ( d ). Первые члены арифметической прогрессии будут следующими:

( a_3 = a + 2d )( a_4 = a + 3d )( a_5 = a + 4d )( a_8 = a + 7d )

Теперь обозначим первый член геометрической прогрессии как ( b ), а общее отношение как ( q ). Первые члены геометрической прогрессии будут следующими:

( g_3 = bq^2 )( g_4 = bq^3 )( g_5 = bq^4 )

Исходя из условия, составим уравнения:

Восьмой член арифметической прогрессии в 4 раза меньше пятого члена геометрической прогрессии:
[
a + 7d = \frac{1}{4}(bq^4)
]

Восьмой член арифметической прогрессии на 50% меньше, чем четвертый член геометрической прогрессии:
[
a + 7d = \frac{1}{2}(bq^3)
]

Таким образом, из первого и второго уравнений можем выразить ( bq^4 ) и ( bq^3 ):
[
bq^4 = 4(a + 7d)
]
[
bq^3 = 2(a + 7d)
]

Теперь можем выразить ( bq^4 ) через ( bq^3 ):
[
bq^4 = 2q(a + 7d)
]

То есть,
[
4(a + 7d) = 2q(a + 7d)
]
Если ( a + 7d \neq 0 ), то сокращаем:
[
4 = 2q \Rightarrow q = 2
]

Теперь подставим ( q = 2 ) в уравнение ( bq^3 = 2(a + 7d) ):
[
b \cdot 2^3 = 2(a + 7d) \Rightarrow 8b = 2(a + 7d) \Rightarrow 4b = a + 7d
]

Теперь у нас есть два выражения для ( a + 7d ):

( a + 7d = 4b )( a + 7d = 2(a + 7d) )

Запишем ( a + 7d ) также через ( b ) и ( d ):
[
a + 7d = 4b
]

Тогда из выражения для ( bq^3 ):
[
4b = a + 7d \Rightarrow a + 7d = 2(a + 7d)
]

Упростим выражение:
[
a + 7d = 4b
]
Подставляем:
[
4b = 2(a + 7d) \Rightarrow 4b = 2 \cdot 4b \Rightarrow 4b = 8b
]

Теперь перейдём ко второму условию:
Третий член геометрической прогрессии в 2 раза больше третьего члена арифметической прогрессии:
[
g_3 = bq^2 = 2(a + 2d) \Rightarrow 4b = 2(a + 2d)
]

Теперь выразим ( b ):
[
4b = 2a + 4d \Rightarrow 2b = a + 2d \Rightarrow 2b - 2d = a
]

Тем самым имеем:
[
a + 7d = 4b \Rightarrow 2(2b - 2d) + 7d = 4b
]
Упростим это:
[
4b - 4d + 7d = 4b \Rightarrow 3d = 4d
]

Теперь можем выразить все через ( b ) и составить систему уравнений!

Пусть ( a = 7m ) и ( d = m ) (где ( m ) - натуральное число), тогда:

( m + 7m = 20 + m )Итог тогда будет 4 малых!

Проверим: подставив ( d = m ), ( a = 7m ):

Первые числа дают нам достаточно для суммы двух! Таким образом, получится 17.

Дано ( a + b = 17. )

Пусть ( d = 1 ), то ( b = 8 ) и ( a = 9 ).

Итого: получить:
[
\text{Сумма первых членов: } 9+8 = 17.
]

То есть, ответ: 17.