Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции ( f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 1 ) необходимо найти ее производную ( f'(x) ) и определить знаки производной на различных интервалах.

Найдем производную функции:

[
f'(x) = 3x^2 + 6x - 24
]

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

[
3x^2 + 6x - 24 = 0
]

Упростим уравнение, разделив на 3:

[
x^2 + 2x - 8 = 0
]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

где ( a = 1, b = 2, c = -8 ):

[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}
]

[
x = \frac{-2 \pm 6}{2}
]

Таким образом, получаем два корня:

[
x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4
]

Теперь у нас есть два критических точки ( x = -4 ) и ( x = 2 ). Мы исследуем знаки производной в интервалах ( (-\infty, -4) ), ( (-4, 2) ) и ( (2, \infty) ).

Для ( x < -4 ) (например, ( x = -5 )):
[
f'(-5) = 3(-5)^2 + 6(-5) - 24 = 75 - 30 - 24 = 21 > 0 \quad \text{(возрастает)}
]

Для ( -4 < x < 2 ) (например, ( x = 0 )):
[
f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 24 = -24 < 0 \quad \text{(убывает)}
]

Для ( x > 2 ) (например, ( x = 3 )):
[
f'(3) = 3(3)^2 + 6(3) - 24 = 27 + 18 - 24 = 21 > 0 \quad \text{(возрастает)}
]

На основе анализа производной мы можем сделать вывод:Функция ( f(x) ) возрастает на интервалах ( (-\infty, -4) ) и ( (2, \infty) ).Функция ( f(x) ) убывает на интервале ( (-4, 2) ).

Ответ:

Функция возрастает на интервалах ( (-\infty, -4) ) и ( (2, \infty) ).Функция убывает на интервале ( (-4, 2) ).