Различные натуральные числа ? и ? таковы, что
? <?<2?<3?<4?<5?<…<48?<49?<50?.
Какое наименьшее значение может принимать ??

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам нужно определить, какие натуральные числа ( x ) и ( y ) можно выбрать так, чтобы выполнялось условие

[
x < y < 2x < 3x < 4x < 5x < \ldots < 48y < 49y < 50y.
]

Давайте сначала разберем, что означает это неравенство.

Сначала из условия ( x < y ) следует, что ( y ) должно быть больше ( x ). Далее, у нас есть последовательность ( x, 2x, 3x, 4x, \ldots, 50y ). Поскольку каждое число в этой последовательности должно быть меньше следующего, учитывая максимальное значение 50y.

Рассмотрим последний элемент ( 50y ). Чтобы он был меньше ( 49y ), необходимо, чтобы ( 50y < 49y ), что является нелепым условием, так как ( 50y ) не может быть меньше ( 49y ).

Таким образом, следует рассмотреть зависимость ( 49y < 50y ), что приводит нас к необходимости иметь большее значение ( y ), чем у соответствующих ( kx ):
[
50y < (k+1)x,
]
где ( kx ) - любое значение из последовательности ( 1x, 2x, \ldots, 50y ).

Теперь давайте подберем такое значение ( x ), которое подтверждает эти условия. Начнем с простого подхода путём подбора:

Пусть ( x = 1 ):
( y ) должно быть больше ( 1 ). Следовательно, ( y \geq 2 ).Если ( y = 2 ):
Следовательно, получаем последовательность: ( 1, 2, 2, 3, 4, 5, ...)Это не работает, т.к. ( 2 ) не меньше или равно ( 2 ).

Пробуем больше:

Пусть ( x = 3 ):
Выбираем ( y = 4 ):
Последовательность будет: ( 3, 4, 6, 9, 12, 15, 18, \ldots )Это не работает.

После подбора с разными значениями мы можем найти, что последовательность можно корректировать, если:

Выберем ( x = 2 ):
Если ( y = 3 ):
Следовательно получится: ( 2, 3, 4, 6, 8, 10, \ldots ) до ( 50y ) - это тоже не работает.

Результат можем получить, например когда 17 как ( y )

Таким образом наименьшее значение ( y = 17 ) и значение ( x = 16).

Таким образом, искомое значение:

[
\boxed{16}.
]