Дано: а - вектор = {m;2;-3}, b - вектор = {-8;0;6}. При каком m а - вектор × b - вектор = |b - вектору| ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти значение ( m ), при котором векторное произведение ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ) равно модулю вектора ( \mathbf{b} ), начнем с определения векторов:

[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} m \ 2 \ -3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -8 \ 0 \ 6 \end{pmatrix}.
]

Сначала вычислим векторное произведение ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ). Формула для векторного произведения векторов ( \begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \ z_1 \end{pmatrix} ) и ( \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \ z_2 \end{pmatrix} ) выглядит так:

[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} y_1 z_2 - z_1 y_2 \ z_1 x_2 - x_1 z_2 \ x_1 y_2 - y_1 x_2 \end{pmatrix}.
]

Подставляя наши значения:

[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 6 - (-3) \cdot 0 \ -3 \cdot (-8) - m \cdot 6 \ m \cdot 0 - 2 \cdot (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \ 24 - 6m \ 16 \end{pmatrix}.
]

Модуль векторного произведения ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ) равен:

[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{(12)^2 + (24 - 6m)^2 + (16)^2}.
]

Теперь упростим это выражение:

[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{144 + (24 - 6m)^2 + 256}.
]

Преобразуем:

[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{400 + (24 - 6m)^2}.
]

Также мы найдем модуль вектора ( \mathbf{b} ):

[
|\mathbf{b}| = \sqrt{(-8)^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10.
]

Теперь у нас есть уравнение, которое мы должны решить:

[
\sqrt{400 + (24 - 6m)^2} = 10.
]

Квадратируем обе стороны:

[
400 + (24 - 6m)^2 = 100.
]

Переносим 400 на правую сторону:

[
(24 - 6m)^2 = 100 - 400,
]
[
(24 - 6m)^2 = -300.
]

Поскольку квадрат не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений. Таким образом, нет значений ( m ), при которых ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{b}| ).