23.11 Про делители суммы Известно, что число a делится на 20, а число b делится на 30. Перечислите все натуральные числа, на которые гарантированно делится a + b.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи давайте разберем, на какие числа делятся числа ( a ) и ( b ).

Число ( a ) делится на 20, следовательно, можно выразить это так:
[
a = 20k \quad \text{для некоторого натурального } k
]
Учитывая разложение числа 20 на простые множители, мы имеем:
[
20 = 2^2 \cdot 5
]
Это значит, что число ( a ) включает в себя два множителя 2 и один множитель 5.

Число ( b ) делится на 30, что можно записать как:
[
b = 30m \quad \text{для некоторого натурального } m
]
Рассмотрим разложение числа 30 на простые множители:
[
30 = 2 \cdot 3 \cdot 5
]
Отсюда видно, что число ( b ) включает в себя один множитель 2, один множитель 3 и один множитель 5.

Теперь давайте найдем ( a + b ):
[
a + b = 20k + 30m
]
Для более удобного представления можем вынести общий множитель:
[
a + b = 10(2k + 3m)
]
Таким образом, ( a + b ) делится на 10. Теперь проанализируем количество делителей.

( 10 ) делится на ( 2 ) и ( 5 ).

Чтобы узнать, на какие другие числа гарантированно делится ( a + b ), найдем НОД всех делителей, которые могут вступать в комбинацию в виде ( 20k + 30m ).

Из множителей ( 2^2 \cdot 5 ) и ( 2 \cdot 3 \cdot 5 ) мы можем выделить:

наименьшее кратное 2 — это ( 2^1 ) (хотя ( a ) дает больше, но ( b ) только один)наименьшее кратное 5 — ( 5^1 )нет множителя 3, так как 3 не присутствует в разложении ( 20 )

Сравнив все части, мы видим, что ( a + b ) делится на:
[
2^1 \cdot 5^1 = 10
]
Также:

Так как ( a ) делится на 20, то ( a + b ) также будет делиться на 2, что добавляет еще кратность.

Гарантированная кратность по-( a + b ):

( 10 )( 5 )( 2 )

Итак, гарантированно ( a + b ) делится на:
2, 5 и 10.

Таким образом, натуральные числа, на которые гарантированно делится ( a + b ), это:
[
{2, 5, 10}
]