МАТРИЦА 3x3 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ. НУЖНО ПРЕОБРАЗОВАТЬ СИСТЕМУ К ВИДУ ПРИГОДНОМУ ДЛЯ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА Т.Е, ЧТОБЫ АБСОЛЮТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ, СТОЯЩИХ НА ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ, БЫЛИ БОЛЬШЕ СУММЫ АБСОЛЮТНЫХ ВЕЛИЧИН КАЖДОГО ИЗ ДРУГИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ В СООТВЕТСТВУЮЩИХ УРАВНЕНИЯХ первая строка строка = 3.14 -2.12 1.17 = 1.27 вторая строка -2.12 1.32 -2.45 = 2.13 третья строка 1.17 -2.45 1.18 = 3.14

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для применения метода простой итерации к системе линейных уравнений (или метод Гаусса-Зейделя), необходимо привести систему к диагонально доминирующему виду. Это означает, что для каждого уравнения абсолютная величина коэффициента при неизвестной на главной диагонали должна быть больше суммы абсолютных величин остальных коэффициентов в этом же уравнении.

Исходная система уравнений выглядит следующим образом:

( 3.14x_1 - 2.12x_2 + 1.17x_3 = 1.27 )( -2.12x_1 + 1.32x_2 - 2.45x_3 = 2.13 )( 1.17x_1 - 2.45x_2 + 1.18x_3 = 3.14 )

Теперь проверим, доминирует ли каждая из неизвестных на главной диагонали в каждом уравнении.

Для первого уравнения:

Коэффициент при ( x_1 ): ( 3.14 )Сумма остальных коэффициентов: ( | -2.12 | + | 1.17 | = 2.12 + 1.17 = 3.29 )( |3.14| \not> 3.29 ) (не доминирует).

Для второго уравнения:

Коэффициент при ( x_2 ): ( 1.32 )Сумма остальных коэффициентов: ( | -2.12 | + | -2.45 | = 2.12 + 2.45 = 4.57 )( |1.32| \not> 4.57 ) (не доминирует).

Для третьего уравнения:

Коэффициент при ( x_3 ): ( 1.18 )Сумма остальных коэффициентов: ( | 1.17 | + | -2.45 | = 1.17 + 2.45 = 3.62 )( |1.18| \not> 3.62 ) (не доминирует).

Таким образом, текущая система уравнений не является диагонально доминирующей. Нам необходимо модифицировать ее.

Один из способов добиться диагонального доминирования — изменить порядок уравнений или выразить каждую переменную в терминологах других переменных, чтобы коэффициенты на главной диагонали были больше.

Приведем систему к подходящему виду:

Выразим ( x_1 ) из первого уравнения:
[
x_1 = \frac{1.27 + 2.12x_2 - 1.17x_3}{3.14}
]

Выразим ( x_2 ) из второго уравнения:
[
x_2 = \frac{2.13 + 2.12x_1 + 2.45x_3}{1.32}
]

Выразим ( x_3 ) из третьего уравнения:
[
x_3 = \frac{3.14 - 1.17x_1 + 2.45x_2}{1.18}
]

Теперь перепишем систему уравнений в виде схемы итерации:

( x_1^{(k+1)} = \frac{1.27 + 2.12x_2^{(k)} - 1.17x_3^{(k)}}{3.14} )( x_2^{(k+1)} = \frac{2.13 + 2.12x_1^{(k+1)} + 2.45x_3^{(k)}}{1.32} )( x_3^{(k+1)} = \frac{3.14 - 1.17x_1^{(k+1)} + 2.45x_2^{(k+1)}}{1.18} )

Теперь эта система подходит для применения метода простой итерации, при условии, что величины на главной диагонали будут удовлетворять условиям сходимости. Проверяйте, или проведите итерации с начальными условиями, чтобы найти решение.