Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 3√3. Найдите расстояние между плоскостями A1BD и B1D1C

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения расстояния между плоскостями A1BD и B1D1C сначала нужно определить уравнения этих плоскостей.

Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a = 3√3. Для упрощения будем располагать куб в координатной системе с вершинами:

A(0, 0, 0)B(3√3, 0, 0)C(3√3, 3√3, 0)D(0, 3√3, 0)A1(0, 0, 3√3)B1(3√3, 0, 3√3)C1(3√3, 3√3, 3√3)D1(0, 3√3, 3√3)

Теперь определим плоскости.

Плоскость A1BD:

Вершины: A1(0, 0, 3√3), B(3√3, 0, 0), D(0, 3√3, 0).Плоскость определяется вектором нормали, который можно найти, используя вектора AB и AD.Векторы:
AB = (3√3 - 0, 0 - 0, 0 - 3√3) = (3√3, 0, -3√3)AD = (0 - 0, 3√3 - 0, 0 - 3√3) = (0, 3√3, -3√3)Вектор нормали N = AB × AD:
[
N = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
3\sqrt{3} & 0 & -3\sqrt{3} \
0 & 3\sqrt{3} & -3\sqrt{3}
\end{vmatrix}
= \hat{i} (0 - 3\sqrt{3} \cdot -3\sqrt{3}) - \hat{j} (3\sqrt{3} \cdot -3\sqrt{3}) + \hat{k} (3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} - 0)
= \hat{i} (27) + \hat{j} (9) + \hat{k} (27)
]

Плоскость B1D1C:

Вершины: B1(3√3, 0, 3√3), D1(0, 3√3, 3√3), C(3√3, 3√3, 0).Векторы:
B1D1 = (0 - 3√3, 3√3 - 0, 3√3 - 3√3) = (-3√3, 3√3, 0)B1C = (3√3 - 3√3, 3√3 - 0, 0 - 3√3) = (0, 3√3, -3√3)Нормаль будет:
[
\hat{i} (0 - 3\sqrt{3} \cdot 0) - \hat{j} (-3\sqrt{3} \cdot -3\sqrt{3}) + \hat{k} (9)
= (27, 9, 27)
]

Таким образом у нас обе плоскости имеют одинаковое направление нормали, следовательно они параллельны. Мы можем найти расстояние между ними, рассчитывая его по любой из точек в каждой из плоскостей.

Для определения константы уравнения плоскости воспользуемся точкой A1 и координатами нормали, нормаль нужна для определения уравнения плоскости (в общем случае). Определяем уравнение плоскости через точку A1(0, 0, 3√3). Параметр d, можем получить так: $x_0A + y_0B + z_0C - d = 0$, где A, B, C - компоненты нормали. Решая, получаем d.

С расстоянием, я найду высоту между касаниями.