На прямой в начале координат стоит Лягушонок. Каждую минуту он с равными вероятностями прыгает на 1, 2 или 3 метра вправо. Пусть Pn - вероятность того, что он побывает в точке n, но не побывает в точке 2n. При каком наименьшем c верно, что Pn ≥ 1/4-100с^n при всех n? Введенный ответ не должен отличаться от истинного более чем на 10^-5. Показать ход действий.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим задачу о Лягушонке, прыгающем на 1, 2 или 3 метра вправо с равными вероятностями. Мы хотим найти вероятность ( P_n ) того, что Лягушонок побывает в точке ( n ), но не побывает в точке ( 2n ).

Определим вероятности прыжков: Лягушонок может прыгать на 1, 2 или 3 метра с одинаковыми вероятностями ( \frac{1}{3} ).

Формализуем ( P_n ):

Чтобы Лягушонок побывал в точке ( n ), ему необходимо сделать сочетание прыжков, которые в сумме дают ( n ).Для ( P_n ) важно, чтобы в процессе он не достигал ( 2n ).

Система уравнений для ( P_n ): Используя формулу вероятности, можно выразить ( P_n ) относительно предыдущих вероятностей:
[
Pn = \frac{1}{3}(P{n-1} + P{n-2} + P{n-3}) -
\text{(вероятности достижения } 2n\text{)}
]

Вероятности достижения ( 2n ): Для выражения ( P_n ) также нам понадобится учесть вероятности достижения точки ( 2n ), что может быть более сложной задачей, по сравнению с достижением ( n ).

Постепенный расчет ( P_n ): Чтобы построить вероятности, можно вычислить их по индукции. Начнем с малых значений ( n ):
[
P_1 = \frac{1}{3}, \quad P_2 = \frac{1}{3} \cdot P_1 + \frac{1}{3} (0) + \frac{1}{3} (0) = \frac{1}{9}
]

Обобщенный вид для больших ( n ): Нам нужно обратить внимание на поведение ( P_n ) при достаточно больших ( n ). Оценим сходимость и укажем на необходимость модификации с учетом ( c ).

Условия для ( c ): Мы хотим, чтобы выполнено следующее:
[
P_n \geq \frac{1}{4} - 100c^n
]
Отсюда можно выразить ( c ):
[
100c^n \to 0 \text{, когда } n \to \infty
]
Это требует, чтобы ( c < \frac{1}{10} ).

Наименьший ( c ): Изо всех вышеизложенных рассуждений следует, что
[
c = \frac{1}{10} \text{ является наименьшей подходящей вероятностью.}
]

Окончательный ответ: Наименьшее значение ( c ), для которого выполняется условие ( P_n \geq \frac{1}{4} - 100c^n ) равно:
[
c = 0.1
]

Окончательный ответ: ( c = 0.1 ).