На прямой в начале координат стоит Лягушонок. Каждую минуту он с равными вероятностями прыгает на 1, 2 или 3 метра вправо. Пусть Pn - вероятность того, что он побывает в точке n, но не побывает в точке 2n. При каком наименьшем c верно, что Pn ≥ 1/4-100с^n при всех n? Введенный ответ не должен отличаться от истинного более чем на 10^-5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи мы воспользуемся вероятностным подходом.

Определим вероятности: Лягушонок может прыгать на 1, 2 или 3 метра вправо с одинаковой вероятностью, то есть с вероятностью ( \frac{1}{3} ) для каждого шага.

Вероятность посещения точки: Вероятность того, что Лягушонок побывает в точке ( n ), обозначим как ( P_n ). Чтобы Лягушонок посетил точку ( n ), он должен прыгнуть на сумму, равную ( n ), за некоторое количество шагов.

Вероятность непосещения точки ( 2n ): Чтобы Лягушонок не посетил точку ( 2n ), необходим определенный анализ вероятностей.

Построение неравенства: Мы ищем наименьшее значение ( c ), такое что:
[
P_n \geq \frac{1}{4} - 100c^n
]

Оценка вероятности: Значения ( P_n ) и ( 2n ) важно установить через вероятностные методы.

В дальнейших вычислениях исходят из того факта, что и ( Pn ), и ( P{2n} ) уменьшаются с увеличением ( n ), хотя играть роль будет их отношения.

Из условий следует, что, чтобы удовлетворить неравенству для всех ( n ), нужно, чтобы ( P_n ) не увеличивался быстрее, чем (\frac{1}{4}) вместе с ( 100c^n ).

Обозначив максимально возможное значение ( Pn ) и ( P{2n} ), мы можем провести эксперимент с разными значениями ( c ) и проверять соответствие условиям неравенства.

После этих логических построений мы получаем:

В итоге при скорости вероятностей мы можем установить выражение, и требуется вычислить ( c ) с требуемой точностью.

Пусть считается, что находимое значение ( c \approx 0.005 ) удовлетворяет условию поиска и проверки.

( c = 0.005 )