Используя определение дифференциала, вычислить приближенно: а) arctg 1,05 ; б) ^3√65

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы вычислить приближенно значения ( \arctan(1.05) ) и ( \sqrt[3]{65} ) с использованием дифференциала, будем использовать определение дифференциала функции.

Найдём производную ( f'(x) ):
[
f'(x) = \frac{1}{1+x^2}
]
Теперь выберем значение ( x_0 = 1 ) (так как ( \arctan(1) ) = ( \frac{\pi}{4} )).

Вычислим производную в этой точке:
[
f'(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}
]

Теперь используем дифференциал для приближенного значения:
[
df = f'(x_0) \cdot dx
]
где ( dx = 1.05 - 1 = 0.05 ).

Тогда
[
f(1.05) \approx f(1) + df = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cdot 0.05 = \frac{\pi}{4} + 0.025
]
Приблизительное значение:
[
\frac{\pi}{4} \approx 0.7854 \Rightarrow f(1.05) \approx 0.7854 + 0.025 \approx 0.8104
]

Находим производную ( g'(x) ):
[
g'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}
]
Выберем значение ( x_0 = 64 ) (так как ( \sqrt[3]{64} = 4 )).

Вычислим производную в этой точке:
[
g'(64) = \frac{1}{3\sqrt[3]{64^2}} = \frac{1}{3\cdot 16} = \frac{1}{48}
]

Теперь используем дифференциал:
[
dx = 65 - 64 = 1
]
Отсюда:
[
g(65) \approx g(64) + g'(64) \cdot dx = 4 + \frac{1}{48} \cdot 1 = 4 + \frac{1}{48} \approx 4 + 0.0208 \approx 4.0208
]

Таким образом, приближенные значения: