Задача по геометрии Дан конус, PABC правильная треугольная пирамида вписана в конус, объем конуса 96. Найдите объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи давайте вспомним, что объем правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:

[
V = \frac{1}{3} S_{B} h,
]

где ( S_{B} ) — площадь основания пирамиды, а ( h ) — высота пирамиды.

В нашем случае основание пирамиды ( PABC ) является правильным треугольником, вписанным в основание конуса. Также нам известно, что объем конуса ( V{конус} = \frac{1}{3} S{основания} H ), где ( S_{основания} ) — площадь основания конуса, а ( H ) — высота конуса.

Теперь нам нужно определить отношение объемов конуса и пирамиды. Если пирамидa вписана в конус, то все её вершины касаются стенок конуса.

Объём пирамиды, вписанной в конус, составляет ( \frac{1}{4} ) объёма конуса, если основание пирамиды совпадает с основанием конуса, и высота пирамиды равна высоте конуса.

Таким образом, объём пирамиды можно найти следующим образом:

[
V{пирамида} = \frac{1}{4} V{конус} = \frac{1}{4} \cdot 96 = 24.
]

Таким образом, объем пирамиды ( PABC ) равен 24.