Задача по Стериометрии В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AB=7,5, AD=10, AA1=8. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через диагональ B1D1 верхнего основания и вершину B нижнего основания.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи сначала определим координаты вершин прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

Пусть A(0, 0, 0), B(7.5, 0, 0), C(7.5, 10, 0), D(0, 10, 0), A1(0, 0, 8), B1(7.5, 0, 8), C1(7.5, 10, 8), D1(0, 10, 8).

Теперь найдем координаты точек B и D1, чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через эти точки.

Координаты точек:

B(7.5, 0, 0)D1(0, 10, 8)

Также найдем координаты точки B1(7.5, 0, 8) и D1(0, 10, 8). Теперь можно записать вектор B1D1:

B1D1 = D1 - B1 = (0 - 7.5, 10 - 0, 8 - 8) = (-7.5, 10, 0).

Теперь найдем нормальный вектор плоскости, составленный из вектора B1D1 и вектора B (5231). Вектор B = (0 - 7.5, 0 - 0, 0 - 0) = (-7.5, 0, 0).

Чтобы получить нормальный вектор плоскости, мы можем взять векторное произведение:

Векторное произведение:
( N = B1D1 \times B ).

[
N = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
-7.5 & 10 & 0 \
-7.5 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (00 - 010)\hat{i} - (0-7.5 - 00)\hat{j} + (-7.50 - (-7.5)10)\hat{k} = (0, 0, 75)\hat{k}.
]

Таким образом, нормальный вектор плоскости равен (0, 0, 75), и плоскость равна z = konstant (параллельно плоскости xy).

Следующий шаг — найти координаты пересечения этой плоскости с рёбрами параллелепипеда. Так как плоскость параллельна основанию, мы можем взять просто проекции точек B и D1 на плоскость, и эти точки будут иметь координаты:

T1 (7.5, 0, 0) и T2 (0, 10, 8).

Теперь, мы можем построить сечение, участок между точками T1(7.5, 0, 0) и T2(0, 10, 8) - это треугольник.

Теперь находим длины сторон:

A(0, 0, 0) до T1(7.5, 0, 0), ( a = 7.5 )A(0, 0, 0) до T2(0, 10, 8), ( b = \sqrt{(0-0)^2 + (0-10)^2 + (0-8)^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} )T1(7.5, 0, 0) до T2(0, 10, 8)

Площадь треугольника можно найти через формулу:
[
S = \frac{1}{2} base height.
]
Physical distances from B point to lines A and B х^2 + y^2 = 2 + 10^ /D_s.

Найденная площадь сечения (последняя формула) и прочие векторы равны 40 .