Задача из комбинаторики Сколько существует чисел, состоящих из всех цифр, каждая из которых не является простым числом и повторяется число раз, равное остатку от деления её на три

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте разберем задачу поэтапно.

Прежде всего, определим, какие цифры не являются простыми числами. Простые числа среди цифр (от 0 до 9) — это 2, 3, 5 и 7. Следовательно, не простыми являются:

014689

Это 6 цифр. Теперь разберёмся с условием, что каждая цифра повторяется число раз, равное остатку от деления её на 3.

Теперь посмотрим на остатки от деления каждой из цифр на 3:

(0 \mod 3 = 0)(1 \mod 3 = 1)(4 \mod 3 = 1)(6 \mod 3 = 0)(8 \mod 3 = 2)(9 \mod 3 = 0)

Таким образом, количество повторений для каждой цифры будет следующим:

0 (0 раз, так как остаток 0)1 (1 раз, так как остаток 1)4 (1 раз, так как остаток 1)6 (0 раз, так как остаток 0)8 (2 раза, так как остаток 2)9 (0 раз, так как остаток 0)

Теперь у нас есть следующие цифры и их количество:

Цифра 1 — 1 разЦифра 4 — 1 разЦифра 8 — 2 раза

Таким образом, числовая последовательность будет состоять из: 1, 4, 8, 8.

Теперь подсчитаем количество различных перестановок (чисел), которые можно составить из этих цифр.

Общее количество перестановок можно вычислить с использованием формулы для перестановок с повторениями:

[
\text{Количество перестановок} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3!}
]

где (n) — общее количество элементов, а (n_1, n_2, n_3) — количество повторяющихся элементов.

Здесь:

(n = 4) (всего цифр: 1, 4, 8, 8)(n_1 = 1) (число 1)(n_2 = 1) (число 4)(n_3 = 2) (число 8)

Таким образом:

[
\text{Количество перестановок} = \frac{4!}{1! \cdot 1! \cdot 2!} = \frac{24}{1 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{24}{2} = 12
]

Итак, существует 12 различных чисел, которые можно составить из цифр 1, 4, 8, 8, при этом соблюдая условия задачи.

Ответ: 12.