29.4 Задачи по теме "Изменение остатка"
5 задание У Александра есть 3 дочки и 2 сына. Он купил упаковку конфет и решил раздать их детям. Оказалось, что Александр может поровну поделить их между всеми дочками, а также может поровну поделить их между всеми сыновьями. Но вот для дележа поровну между всеми детьми ему не хватает 1 конфеты. Какое наименьшее количество конфет может быть у Александра?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим количество конфет за ( N ).

Александр хочет поделить конфеты между:

3 дочками: ( N \mod 3 = 0 )2 сынами: ( N \mod 2 = 0 )5 детьми (3 дочки + 2 сына): ( N \mod 5 = 4 ) (так как не хватает 1 конфеты для равного дележа)

Теперь нам нужно найти такое ( N ), которое удовлетворяет этим условиям.

Запишем условия в виде системы:

( N \equiv 0 \mod 3 )( N \equiv 0 \mod 2 )( N \equiv 4 \mod 5 )

Рассмотрим первое два условия:

Поскольку ( N ) должно быть четным (в соответствии со вторым условием), давайте обозначим ( N = 2k ), где ( k ) — целое число.Теперь подставляем ( N = 2k ) в первое условие:
[
2k \equiv 0 \mod 3
]
Это означает, что ( k \equiv 0 \mod \frac{3}{2} ). Но на самом деле, чтобы ( 2k ) делилось на 3, нужно, чтобы ( k ) делилось на ( \frac{3}{2} ), что не совсем удобно. Мы можем просто проверить четные числа, которые делятся на 3.

Теперь нам нужно, чтобы ( N \equiv 4 \mod 5 ). Это значит, что можем записать:

[
N = 5m + 4 \quad \text{для некоторого целого } m
]

Теперь мы заменяем это уравнение в два других условия. Подставим ( N ) в ( N \equiv 0 \mod 2 ):

[
5m + 4 \equiv 0 \mod 2
]

Сначала проверим, что ( 5m + 4 ) четное. При ( m ) четном ( 5m ) нечетное, а ( 5m + 4 ) - четное. При ( m ) нечетном - то же самое. Таким образом, ( 5m + 4 ) всегда четное, и условие деления на 2 выполняется.

Теперь ( 5m + 4 \equiv 0 \mod 3):
[
5m + 4 \equiv 0 \mod 3 \implies 2m + 1 \equiv 0 \mod 3
]
[
2m \equiv 2 \mod 3 \implies m \equiv 1 \mod 3
]

Находим минимальное ( m ), соответствующее ( m \equiv 1 \mod 3 ). Это значит, что ( m = 1, 4, 7, \ldots ).

Подставим ( m = 1 ):
[
N = 5 \cdot 1 + 4 = 9
]
не удовлетворяет 1-му условию ( N \mod 3 ).

Подставим ( m = 4 ):
[
N = 5 \cdot 4 + 4 = 24
]
Проверим все условия:

( 24 \div 3 = 8 ) (делится на 3),( 24 \div 2 = 12 ) (делится на 2),( 24 \div 5 = 4 ) и остаток 4 (не хватает 1 конфеты).

Таким образом, наименьшее количество конфет, которое может быть у Александра, равно ( \boxed{24} ).