Теория вероятностей, комбинаторика 4. Дифференциальная функция распределения p(x)= 0,4(1-0,4)^x X имеет вид f(x)=Ag(x) при
x1≤x≤x2 и f(x)=0 вне этого интервала. Требуется:
а) найти коэффициент A;
б) найти M(X), D(X), σ(X);
в) найти функцию распределения F(x);
г) построить графики F(x) и f(x), рассматривая не менее 5 точек на интервале
[x1; x2];

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи, начнем с анализа предложенной функции плотности вероятности ( p(x) = 0.4(1 - 0.4)^x ). Это известная функция распределения геометрического распределения. Здесь мы рассмотрим, что ( x ) принимает значения ( 0, 1, 2, \ldots ).

а) Найти коэффициент ( A )

У нас дано:

[
f(x) = A g(x),
]

где ( g(x) = p(x) = 0.4(1-0.4)^x ) для ( x ) в интервале ( [x_1, x_2] ) и ( f(x) = 0 ) вне этого интервала. Чтобы ( f(x) ) была корректной функцией плотности вероятности, необходимо, чтобы интеграл от ( f(x) ) по всему пространству равнялся 1.

Поскольку ( p(x) ) является функцией вероятности, в интервале ( [0, \infty) ):

[
\int_{0}^{\infty} p(x) dx = 1.
]

Однако, здесь мы хотим нормализовать ( p(x) ) на некотором интервале ( [x_1, x_2] ). Для данной функции, чтобы найти ( A ), нужно, чтобы:

[
A \sum_{x=x_1}^{x_2} p(x) = 1.
]

Сумму конечной геометрической прогрессии можно выразить как:

[
\sum_{x=x_1}^{x_2} p(x) = p(x_1) + p(x_1 + 1) + \ldots + p(x_2).
]

б) Найти ( M(X) ), ( D(X) ), ( \sigma(X) )

Для геометрического распределения, где каждое наблюдение содержит число до первого успешного исхода с вероятностью успеха ( p ), математическое ожидание (( M(X) )) и дисперсия (( D(X) )) выражаются через формулы:

[
M(X) = \frac{1 - p}{p},
]
[
D(X) = \frac{1 - p}{p^2}.
]

Подставляя ( p = 0.4 ):

[
M(X) = \frac{1 - 0.4}{0.4} = 1.5,
]
[
D(X) = \frac{1 - 0.4}{(0.4)^2} = \frac{0.6}{0.16} = 3.75.
]

Стандартное отклонение (( \sigma(X) )) будет равно:

[
\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{3.75} \approx 1.936.
]

в) Найти функцию распределения ( F(x) )

Функция распределения ( F(x) ) для геометрического распределения определяется как сумма вероятностей:

[
F(x) = P(X \leq x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} p(k).
]

Используя формулу:

[
F(x) = 1 - (1 - p)^{\lfloor x \rfloor + 1},
]

применим для ( p = 0.4 ):

[
F(x) = 1 - (0.6)^{\lfloor x \rfloor + 1}.
]

г) Построить графики ( F(x) ) и ( f(x) )

Теперь мы построим графики этих функций на интервале ( [0, 5] ) (можно выбрать другой интервал).

Примерные значения для ( f(x) ) и ( F(x) ):Для ( x = 0: f(0) = p(0) = 0.4; F(0) = 0.4; )Для ( x = 1: f(1) = 0.4 \cdot (0.6) = 0.24; F(1) = 0.4 + 0.24 = 0.64; )Для ( x = 2: f(2) = 0.4 \cdot (0.6)^2 = 0.144; F(2) = 0.64 + 0.144 = 0.784; )Для ( x = 3: f(3) = 0.4 \cdot (0.6)^3 = 0.0864; F(3) = 0.784 + 0.0864 = 0.8704; )Для ( x = 4: f(4) = 0.4 \cdot (0.6)^4 = 0.05184; F(4) = 0.8704 + 0.05184 = 0.92224; )Для ( x = 5: f(5) = 0.4 \cdot (0.6)^5 = 0.031104; F(5) = 0.92224 + 0.031104 = 0.953344; )

Таким образом, можно построить график ( f(x) ) от 0 до 5 и график ( F(x) ) от 0 до 5, нанося на них найденные значения.

Если вам нужно создать графики, вы можете использовать Python с библиотекой Matplotlib или любой другой инструмент для построения графиков.