2x₁ + x₂ - x₃ - x₄ + 3x₅ = 3
5x₁ + 4x₂ - 4x₃ - 4x₄ + 15x₅ = 9
3x₁ + 2x₂ - 2x₃ - 2x₄ + 7x₅ = 5
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Выполнить проверку.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса, начнем с записи ее в матричном виде:

[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & -1 & 3 \
5 & 4 & -4 & -4 & 15 \
3 & 2 & -2 & -2 & 7
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3 \
x_4 \
x_5
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
3 \
9 \
5
\end{bmatrix}
]

Перепишем расширенную матрицу:

[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & -1 & 3 & | & 3 \
5 & 4 & -4 & -4 & 15 & | & 9 \
3 & 2 & -2 & -2 & 7 & | & 5
\end{bmatrix}
]

Теперь будем применять метод Гаусса для приведения к ступенчатому виду.

Нормализуем первую строку. Разделим первую строку на 2:

[
\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 1.5 & | & 1.5 \
5 & 4 & -4 & -4 & 15 & | & 9 \
3 & 2 & -2 & -2 & 7 & | & 5
\end{bmatrix}
]

Сделаем нули под первым элементом первого столбца.
Уменьшим вторую строку на 5 раз первую строку:

[
(5, 4, -4, -4, 15) - 5 \cdot (1, 0.5, -0.5, -0.5, 1.5) = (0, 1.5, -1.5, -1.5, 7.5)
]

И третью строку уменьшаем на 3 раза первую строку:

[
(3, 2, -2, -2, 7) - 3 \cdot (1, 0.5, -0.5, -0.5, 1.5) = (0, 0.5, -0.5, -0.5, 2.5)
]

Теперь матрица выглядит так:

[
\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 1.5 & | & 1.5 \
0 & 1.5 & -1.5 & -1.5 & 7.5 & | & 2.5 \
0 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 2.5 & | & 2.5
\end{bmatrix}
]

Нормализуем вторую строку. Разделим вторую строку на 1.5:

[
\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 1.5 & | & 1.5 \
0 & 1 & -1 & -1 & 5 & | & \frac{5}{3} \
0 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 2.5 & | & 2.5
\end{bmatrix}
]

Сделаем нули под первым элементом второго столбца. Уменьшаем третью строку на 0.5 раза вторую строку:

[
(0, 0.5, -0.5, -0.5, 2.5) - 0.5 \cdot (0, 1, -1, -1, 5) = (0, 0, 0 & & 0, 0)
]

Теперь матрица будет следующей:

[
\begin{bmatrix}
1 & 0.5 & -0.5 & -0.5 & 1.5 & | & 1.5 \
0 & 1 & -1 & -1 & 5 & | & \frac{5}{3} \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}
]

Теперь возвращаемся к уравнениям:

[
\begin{cases}
x_1 + 0.5x_2 - 0.5x_3 - 0.5x_4 + 1.5x_5 = 1.5 \
x_2 - x_3 - x_4 + 5x_5 = \frac{5}{3}
\end{cases}
]

Перепишем систему уравнений для удобства:

( x_1 + 0.5x_2 - 0.5x_3 - 0.5x_4 + 1.5x_5 = 1.5 )

( x_2 - x_3 - x_4 + 5x_5 = \frac{5}{3} )

Теперь выразим переменные ( x_3 ), ( x_4 ), и ( x_5 ) через ( x_1 ) и ( x_2 ).

В данном случае, поскольку третья строка обращает ноль, у нас будет бесконечно много решений. Мы можем выражать одну переменную через другую.

Например, пусть ( x_5 = t ).

Тогда ( x_4 ) можно выразить:
[
x_3 = x_2 - 5t + \frac{5}{3}
]

Подставляем это в первое уравнение для нахождения ( x_1 ):
[
x_1 + 0.5x_2 - 0.5\left(x_2 - 5t + \frac{5}{3}\right) - 0.5t + 1.5t = 1.5
]

Упрощаем это:
[
x_1 - 0.5t + 3t = 1.5 - 0.5x_2 + \frac{5}{6}
]

Таким образом, можно выразить все переменные через одну свободную переменную, например, ( t ).

Проверка системы может быть выполнена путем выбора значений для свободных переменных и проверки всех условий.

Вывод: у системы нет единственного решения. Решения зависят от свободной переменной ( t ).