Непрерывность и дифференцируемость Почему при определении, например, первого достаточного условия экстремума, говорят, что функция непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Почему дифференцирование происходит в интервале (a, b), а не на отрезке [a, b]. И зачем нам вообще условие непрерывности, если есть теорема о том, что если функция дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Соответственно, если функция дифференцируема в каждой точке (a, b), то она априори непрерывна на этом интервале.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Вы совершенно правы в том, что если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке. Однако понимание, почему условия непрерывности и дифференцируемости формулируются именно так, позволит лучше разобраться в установлении условий для нахождения экстремумов.

Дифференцируемость на (a, b):
Когда мы говорим о том, что функция дифференцируема на интервале (a, b), мы имеем в виду, что требуется, чтобы функция имела производную в каждой точке этого интервала. Это важно, так как при нахождении точек, где производная равна нулю (это кандидаты на экстремумы), мы рассматриваем именно внутренние точки интервала. Величины на границах интервала могут иметь свои особенности (например, быть разрывными или не иметь производной), и это может влиять на характер экстремумов.

Непрерывность на [a, b]:
Условие непрерывности на замкнутом отрезке [a, b] важно для применения теорем, таких как теорема Больцано-Вейерштрасса, или теорема о существовании экстремумов (которая говорит о том, что непрерывная функция на замкнутом отрезке достигает своего максимума и минимума). Если функция не непрерывна на границах, то могут возникнуть ситуации, когда поведение функции в окрестности границ приводит к неправильным выводам о наличии экстремумов.

Итак, для экстремумов:

Мы требуем, чтобы функция была непрерывна на [a, b], чтобы гарантировать, что она достигнет своих экстремумов и не будет "скакать" в окрестности границ.Мы же требуем, чтобы функция была дифференцируема на (a, b), чтобы гарантировать, что мы можем находить критические точки (где производная равна нулю) внутри интервала, которые являются кандидатами для местонахождения экстремумов.

Так что хотя и существует взаимосвязь между непрерывностью и дифференцируемостью, условия для нахождения экстремумов устанавливаются с учетом их конкретных ролей и значений в анализе функций.