31.1 Итоговый тест На доске выписаны первые 200 натуральных чисел в порядке возрастания. Два из этих чисел покрасили в оранжевый цвет, а все числа между ними — в жёлтый. Оказалось, что сумма оранжевых чисел равна 107, а сумма жёлтых — 535. Чему может быть равно большее оранжевое число? Укажите все возможные варианты.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть два оранжевых числа обозначим как ( a ) и ( b ) (где ( a < b )). Тогда, согласно условию, сумма оранжевых чисел равна

[
a + b = 107.
]

Числа, между ( a ) и ( b ), окрашиваются в жёлтый цвет. Если ( a ) и ( b ) — это два оранжевых числа, то количество жёлтых чисел будет равно ( b - a - 1 ).

Сумма всех жёлтых чисел между ( a ) и ( b ) можно выразить через формулу суммы арифметической прогрессии:

[
S = \frac{n}{2} \cdot (x_1 + x_n),
]

где ( n ) — количество членов, ( x_1 ) — первый член, ( x_n ) — последний член прогрессии. В нашем случае:

Таким образом, сумма жёлтых чисел будет равна:

[
\text{Сумма жёлтых} = \frac{b - a - 1}{2} \cdot ((a + 1) + (b - 1)) = \frac{b - a - 1}{2} \cdot (a + b) = \frac{b - a - 1}{2} \cdot 107.
]

По условию задачи, эта сумма равна 535:

[
\frac{b - a - 1}{2} \cdot 107 = 535.
]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

[
(b - a - 1) \cdot 107 = 1070.
]

Делим обе стороны на 107:

[
b - a - 1 = 10.
]

Отсюда следует:

[
b - a = 11.
]

Теперь можем выразить ( b ) через ( a ):

[
b = a + 11.
]

Подставим ( b ) в уравнение для суммы оранжевых чисел:

[
a + (a + 11) = 107,
]

что упрощается до:

[
2a + 11 = 107.
]

Вычтем 11 из обеих сторон:

[
2a = 96,
]

разделим на 2:

[
a = 48.
]

Теперь подставим ( a ) обратно, чтобы найти ( b ):

[
b = 48 + 11 = 59.
]

Мы выяснили, что ( a = 48 ) и ( b = 59 ). Однако важно проверить, что это единственная пара чисел. Для этого учтем, что:

Тогда у нас есть система уравнений, которая даст одинаковые решения в рамках заданных ограничений.

Таким образом, оба оранжевых числа равны ( 48 ) и ( 59 ).

Значит, ( b ) (большее оранжевое число) может быть равно:

[
\boxed{59}.
]