Вероятность и статистика В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0.9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 24 июля погода в Волшебной стране хорошая. Найти вероятность того, что 27 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся цепочкой Маркова. Пусть ( p_n ) — вероятность того, что погода в день ( n ) будет отличной.

У нас есть две состояния погоды:

Хорошая погода (обозначим как ( H ))Отличная погода (обозначим как ( O ))

Из условия задачи мы знаем следующее:

Вероятность того, что погода останется той же: ( P(H \to H) = 0.9 ) и ( P(O \to O) = 0.9 ).Вероятность того, что погода изменится: ( P(H \to O) = 0.1 ) и ( P(O \to H) = 0.1 ).

На 24 июля погода хорошая (( H )). Найдем вероятность того, что 27 июля будет отличная погода (( O )). Обозначим:

( p_0 = 1 ) (вероятность отличной погоды на 24 июля)( p_1 = 0 ) (вероятность хорошей погоды на 24 июля)

Теперь будем вычислять:

25 июля.

Вероятность того, что погода хорошая (старая погода была ( H )):
[
P(H) = P(H \to H) \cdot P(H) + P(O \to H) \cdot P(O) = 0.9 \cdot 1 + 0.1 \cdot 0 = 0.9
]Вероятность того, что погода отличная:
[
P(O) = P(H \to O) \cdot P(H) + P(O \to O) \cdot P(O) = 0.1 \cdot 1 + 0.9 \cdot 0 = 0.1
]

26 июля.

Вероятность хорошей погоды:
[
P(H) = 0.9 \cdot P(H) + 0.1 \cdot P(O) = 0.9 \cdot 0.9 + 0.1 \cdot 0.1 = 0.81 + 0.01 = 0.82
]Вероятность отличной погоды:
[
P(O) = 0.1 \cdot P(H) + 0.9 \cdot P(O) = 0.1 \cdot 0.9 + 0.9 \cdot 0.1 = 0.09 + 0.09 = 0.18
]

27 июля.

Вероятность хорошей погоды:
[
P(H) = 0.9 \cdot P(H) + 0.1 \cdot P(O) = 0.9 \cdot 0.82 + 0.1 \cdot 0.18 = 0.738 + 0.018 = 0.756
]Вероятность отличной погоды:
[
P(O) = 0.1 \cdot P(H) + 0.9 \cdot P(O) = 0.1 \cdot 0.82 + 0.9 \cdot 0.18 = 0.082 + 0.162 = 0.244
]

Таким образом, вероятность того, что 27 июля в Волшебной стране будет отличная погода, равна ( P(O) = 0.244 ) или 24.4%.