Задача по геометрии Для какого наибольшего к верно следующее утверждение: для любого выпуклого
пятиугольника существует к троек диагоналей, из которых можно составить невырожденный треугольник?
Невырожденный треугольник - площадь которого больше ноля

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для выпуклого пятиугольника существует 5 диагоналей. Чтобы определить максимальное количество троек диагоналей, из которых можно составить невырожденный треугольник, нужно понять, как измеряется возможность использования диагоналей для формирования треугольников.

Для выпуклого пятиугольника обозначим его вершины как ( A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 ). Возможные диагонали будут:

Общее количество диагоналей в выпуклом ( n )-угольнике равно ( \frac{n(n - 3)}{2} ). В нашем случае, для ( n = 5 ), это дает:

[
\frac{5(5 - 3)}{2} = 5
]

Теперь рассмотрим все троек диагоналей. Мы можем выбрать 3 диагонали из имеющихся 5, что даст ( \binom{5}{3} = 10 ) комбинаций. Однако не все эти комбинации будут составлять невырожденный (т.е. имеющий положительную площадь) треугольник.

Чтобы образовать невырожденный треугольник из трех диагоналей, нужно обеспечить, чтобы их концовые точки не совпадали, поскольку три отрезка могут образовать треугольник, только если они соединяются в треугольник и не сходятся в одном месте.

Можно продемонстрировать, что для любого выпуклого пятиугольника можно выбрать 3 такие диагонали, которые действительно образуют невырожденный треугольник. Например, возьмем диагонали ( A_1A_3, A_2A_4, A_3A_5 ). Эти диагонали имеют разные точки соединений и образуют невырожденный треугольник.

С учетом всех возможных ситуаций, для выпуклого пятиугольника максимальное значение ( k ), для которого утверждение верно, равно 3 — именно столько троек диагоналей можно выбрать так, чтобы они образовывали невырожденный треугольник.