Студент пришёл на экзамен, зная m билетов из n . В каком случае вероятность взять несчастливый билет меньше, когда он берёт билет первым или вторым?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы определить, в каком случае вероятность взятия несчастливого билета меньше — когда студент получает билет первым или вторым, давайте обозначим:

( n ) — общее количество билетов,( m ) — количество билетов, которые студент знает,( k ) — количество несчастливых билетов среди ( n ) (то есть ( k = n - m )).Ситуация 1: Студент берёт билет первым.

Когда студент берёт билет первым, вероятность того, что он возьмёт несчастливый билет, равна:

[
P_1 = \frac{k}{n} = \frac{n - m}{n}
]

Ситуация 2: Студент берёт билет вторым.

Во втором случае студент уже знает, какой билет был взят первым. Скажем, если первый билет оказался “счастливым” (то есть один из тех, что он знает), то остаются ( n - 1 ) билетов, среди которых по-прежнему ( k ) несчастливых.

Если первый билет был "счастливым", то вероятность неудачного выбора во втором случае равна:

[
P_{2, \text{счастливый первый}} = \frac{k}{n - 1} = \frac{n - m}{n - 1}
]

Если первый билет был "несчастливым", то шанс в этом случае равен:

[
P_{2, \text{несчастливый первый}} = \frac{k - 1}{n - 1} = \frac{n - m - 1}{n - 1}
]

Общая вероятность второго выбора

Чтобы найти общую вероятность для второго выбора, необходимо учесть два варианта (не забываем, что вероятность первого выбора составляет 1):

[
P2 = P{2, \text{счастливый первый}} \cdot P1 + P{2, \text{несчастливый первый}} \cdot P_2
]

Где ( P_1 ) — вероятность того, что первый билет счастливый, равна:

[
P_1 = \frac{m}{n}
]

Подсчитав, мы можем заметить, что в общем случае вероятность второго выбора будет сложнее.

Сравнение вероятностей

Чтобы определить, в каком случае вероятность несчастливого билета меньше:

[
P_1 < P_2
]

Мы можем сравнить такие значения. При определённых значениях ( m ) и ( n ) вероятность второго шанса может быть как меньше, так и больше, чем первого. В общем случае, простое значение показывает, что:

Когда студент знает достаточно много билетов (близко к ( n )), разница уменьшается.Когда количество несчастливых билетов невелико, вероятность будет меньше при первом выборе.

Следовательно, для окончательного ответа необходимо было бы провести численный анализ на каждом конкретном значении ( m ) и ( n ). Но в условиях неравномерного распределения и большого количества возможных билетов, брать билет первым имеет верх handfield в повседневной ситуации.