Найти вероятность того, что при размещении 10 шаров по 10 ящикам: а) ровно
один окажется пустым;
б) все ящики будут заняты.
Учитывать, что одном ящике может быть от 0 до 10 шаров.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи будем использовать комбинаторный подход.

a) Вероятность того, что ровно один ящик окажется пустым.

Выбор пустого ящика: Сначала выберем один ящик, который будет пустым. Это можно сделать 10 способами, так как у нас 10 ящиков.

Раскладка шаров по 9 ящикам: Теперь нам нужно разместить 10 шаров по оставшимся 9 ящикам. Каждый шар может оказаться в любом из 9 ящиков, следовательно, количество способов разместить 10 шаров по 9 ящикам равно (9^{10}).

Общее количество способов размещения 10 шаров по 10 ящикам: В общем случае, когда шарам не ставится никаких ограничений, количество способов размещения 10 шаров по 10 ящикам равно (10^{10}).

Теперь давайте посчитаем вероятность:

[
P(A) = \frac{10 \cdot 9^{10}}{10^{10}} = \frac{10 \cdot 9^{10}}{10^{10}} = \frac{9^{10}}{10^{9}}
]

б) Вероятность того, что все ящики будут заняты.

Общее количество способов размещения: Как уже упоминалось, общее количество способов разместить 10 шаров по 10 ящикам равно (10^{10}).

Количество способов, когда все ящики заняты: Здесь мы используем принцип включения-исключения. Сначала у нас есть 10 ящиков, и мы должны гарантировать, что каждый из них содержит хотя бы один шар.

Для этого мы можем использовать формулу Стирлинга второго рода (S(n, k)), которая определяет количество способов распределить (n) непредметных объектов (шаров) по (k) непустым ящикам:

У нас 10 шаров и 10 ящиков, которые должны быть заняты. Количество способов распределить 10 шаров по 10 ящикам, так чтобы ни один ящик не был пустым, равно (10!).

Теперь мы можем выразить искомую вероятность:

[
P(B) = \frac{10!}{10^{10}}
]

Таким образом, окончательные ответы:

а) Вероятность того, что ровно один ящик окажется пустым: (P(A) = \frac{9^{10}}{10^{9}}).б) Вероятность того, что все ящики будут заняты: (P(B) = \frac{10!}{10^{10}}).