Очень сложная задача на телекоскопические суммы Назовем натуральное число порядочным, если для его десятичной записи а1а2…an
верно, что ai <= ai+1 для 1 <= i <= n - 1(будем считать, что числа от 1 до 9 являются порядочными). Пусть f(n) - наименьшее натуральное m, такое что n + m является
порядочным числом (например, f(635) = 31).
Найдите сумму f(1) - f(2) + f(3) - f(4) + … + f(10^2018 - 1).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти сумму ( f(1) - f(2) + f(3) - f(4) + \ldots + f(10^{2018} - 1) ), начнем с понимания функции ( f(n) ) для порядочных и непорядочных чисел.

Порядочное число — это число, у которого цифры не убывают слева направо. Например, числа 1, 22, 123, 344 и т.д. являются порядочными.

Функция ( f(n) ) определяет наименьшее натуральное ( m ), такое что ( n + m ) является порядочным числом. Для вычисления ( f(n) ) нам нужно определить, как можно увеличить ( n ) до ближайшего порядочного числа.

Вот основные шаги, которые помогут нам в этом:

Проверка порядка цифр: Напротив каждого числа ( n ), мы проверяем, соответствует ли его десятичное представление свойству порядочности.

Нахождение ближайшего порядочного числа: Если ( n = ak a{k-1} \ldots a_1 ), где ( a_i ) — цифры числа, то чтобы найти ( f(n) ), мы должны найти ближайшее большее порядочное число. Обычно это делается путем увеличения самой правой непорядочной цифры и обнуления всех последующих цифр:

Например, для ( n = 2345 ), так как числа порядочные, ( f(2345) = 0 ).Но для ( n = 2346 ), чтобы сделать его порядочным, нам нужно увеличить ( 6 ) до ( 7 ) и обнулить все после ( 2 ): получаем ( 2347 ). Таким образом, ( f(2346) ) равен ( 1 ).

Определение четности: Ещё один момент, который нужно учитывать, это знак, который предшествует предоставленным ( f(n) ): для чётных ( n ) мы вычитаем ( f(n) ), а для нечётных добавляем.

Теперь, учитывая все вышеперечисленные моменты, мы можем рассмотреть образцы и начать вычисления для диапазона от 1 до ( 10^{2018} - 1 ).

Давайте посчитаем на примерах:

Для малых чисел ( f(1) = 0 ), ( f(2) = 0 ), ( f(3) = 0 ), ( f(4) = 0 ), ( f(5) = 0 ), ( f(6) = 0 ), ( f(7) = 0 ), ( f(8) = 0 ), ( f(9) = 0 ), ( f(10) = 0 ) - все цифры до 10 порядочные.Начинаем замечать, что ( f(10) = 1 ), так как ближайшее порядочное число 11.Обобщая, для всех чисел в пределах ( n = 11 ) и выше, нужно будет сделать индивидуально.

Теперь, учитывая общую высоту:

Количество порядочных чисел на каждом уровне чисел в пределах ( 10^{k} ) ведет к увеличению значений ( f(n) ).

В результате, заметив цепочку взаимодействия и очередность, можно оценить, что бесконечно на больших масштабах, приведёт к симметричному суммированию объектов, включая циклы.

Соблюдая вычисления и шаги:
[
\sum_{n=1}^{10^{2018} - 1} (-1)^{n-1} f(n) = 0
]

Подытожим, таким образом:

[
\boxed{0}
]