Является ли функция y=2 ограниченной? Является ли функция, график которой прямая, параллельная оси Оx, например, y=2 ограниченной? По определению в учебнике Алимова "Алгебра...": "функция... называется ограниченной снизу на множестве X, если существует такое число C1, что для любого x... выполняется неравенство f(x) больше либо равно С1". И дальше нарисано, что " все точки графика... расположены выше прямой y = С1 или на этой прямой". А вот сама какая-нибудь прямая y=2 например или y=-5 может ли по определению являться ограниченной? Или должны выполняться оба условия? Тогда по идее должны были бы написать, что график должен быть расположен и выше прямой y=C1 и на ней

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Функция ( y = 2 ) является ограниченной, и в данном случае она ограничена как снизу, так и сверху. Если рассматривать ваши вопросы и определения:

График функции ( y = 2 ): этот график представляет собой горизонтальную прямую, которая проходит через точку ( y = 2 ). Она не уходит ни вверх, ни вниз.

Определение ограниченности:

Функция ( f(x) ) называется ограниченной снизу на множестве ( X ), если существует такое число ( C_1 ), что для любого ( x \in X ) выполняется неравенство ( f(x) \geq C_1 ). В случае функции ( y = 2 ) мы можем взять ( C_1 = 2 ), и тогда для всех ( x ) выполняется ( f(x) = 2 \geq 2 ).Функция называется ограниченной сверху на множестве ( X ), если существует такое число ( C_2 ), что для любого ( x \in X ) выполняется неравенство ( f(x) \leq C_2 ). В данном случае, можно взять ( C_2 = 2 ), и для всех ( x ) будет ( f(x) = 2 \leq 2 ).

Таким образом, функция ( y = 2 ) ограничена как снизу (при ( C_1 = 2 )), так и сверху (при ( C_2 = 2 )).

Если же говорить о функции, график которой представляет собой прямую, например, ( y = -5 ), то аналогично можно сказать, что она также ограничена — снизу при ( C_1 = -5 ) и сверху, если взять, скажем, ( C_2 = -5 ).

Поэтому, в общем случае, каждая горизонтальная прямая (например, ( y = c ) для любого значения ( c )) будет являться ограниченной функцией, так как удовлетворяет условиям ограниченности как сверху, так и снизу. Ваше замечание о том, чтобы функция одновременно удовлетворяла обоим условиям, верно, и для горизонтальных прямых оно также выполняется.