Задание по Алгебре Log0,5 (x^2-5x+6)> -1 нужно решение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить неравенство (\log_{0.5}(x^2 - 5x + 6) > -1), начнем с преобразования логарифмического неравенства.

Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:

[
x^2 - 5x + 6 > 0.5^{-1}
]

Поскольку (\log_{0.5}(y) > -1) эквивалентно (y < 0.5^{-1}) (так как основание логарифма меньше 1 и знак неравенства меняется), то

[
x^2 - 5x + 6 < 2
]

Теперь преобразуем квадратное неравенство:

[
x^2 - 5x + 6 - 2 < 0
]

Упростим:

[
x^2 - 5x + 4 < 0
]

Найдем корни квадратного уравнения (x^2 - 5x + 4 = 0) с помощью дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9
]

Корни уравнения:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2}
]

Тогда корни:

[
x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1
]

Теперь мы имеем два корня (x = 1) и (x = 4). Запишем интервал, на котором квадратный трёхчлен меньше нуля.

Исследуем знаки выражения (x^2 - 5x + 4) на интервалах:

Для (x < 1): подставим, например, (x = 0). Получаем (0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0).Для (1 < x < 4): подставим, например, (x = 2). Получаем (2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0).Для (x > 4): подставим, например, (x = 5). Получаем (5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 > 0).Таким образом, неравенство (x^2 - 5x + 4 < 0) выполняется на интервале:

[
(1, 4)
]

Теперь проверим, когда аргумент логарифма больше нуля:

[
x^2 - 5x + 6 > 0
]

Квадратное выражение (x^2 - 5x + 6) всегда больше нуля, так как его дискриминант (D = 25 - 24 = 1) меньше нуля, то есть оно не имеет действительных корней.

В итоге:

Графически мы нашли, что неравенство (\log_{0.5}(x^2 - 5x + 6) > -1) выполняется для:

[
x \in (1, 4)
]

Таким образом, ответ:

[
(1, 4)
]