Задача по геометрии Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если <АОВ=60 и МА=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи будем использовать некоторые свойства окружностей и треугольников.

Обозначим:

( M ) — точка вне окружности,( O ) — центр окружности,( A ) и ( B ) — точки касания, такие что ( MA ) и ( MB ) — касательные к окружности из точки ( M ),( r ) — радиус окружности,( OA ) и ( OB ) — радиусы окружности к точкам касания.

Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, угол ( OMA = 90^\circ ) и угол ( OMB = 90^\circ ).

Так как ( \angle AOB = 60^\circ ), то можно использовать треугольник ( OAB ) с известным углом и стороной. В данном случае, стороны ( OA ) и ( OB ) равны радиусу окружности, обозначим его как ( r ).

В треугольнике ( OMB ) и ( OMA ) применим закон синусов. Заметим, что треугольник ( OMB ) не является прямоугольным, но мы можем выразить длину ( AB ):

В треугольнике ( AOB ):
[
AB = OA + OB - 2 \cdot AO \cdot sin\left(\frac{\angle AOB}{2}\right)
]
Подставляем ( \angle AOB = 60^\circ ):
[
AB = OA + OB - 2 \cdot r \cdot sin\left(30^\circ\right) = r + r - 2r \cdot \frac{1}{2} = r + r - r = r.
]

Таким образом, длина отрезка ( AB ) равна ( r ).

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ( OMA ):
[
MA^2 = OM^2 - OA^2
]
Подразумевается, что ( MA = 1 ):
[
1^2 = OM^2 - r^2
]
Откуда получаем:
[
OM^2 = 1 + r^2 \implies OM = \sqrt{1 + r^2}.
]

Поскольку в равнобедренном треугольнике ( OAM ) по свойству касательных:
[
OA = OB = r, \quad AM = MB = 1.
]

Подставляя ( OM ) в формулу:
[
AB = 2 \cdot MA \cdot \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 2 \cdot 1 \cdot \sin\left(30^\circ\right) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1.
]

Таким образом, расстояние между точками касания ( A ) и ( B ) равно ( 1 ).