Окружность с центром на оси ординат касается прямой x = 5 и проходит через точку A (4; 2). Определите координаты центра окружности, если известно, что окружность лежит только в I и IV четвертях.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть центр окружности имеет координаты ( (0, r) ), где ( r ) — радиус окружности. Окружность касается прямой ( x = 5 ), поэтому расстояние от центра окружности до этой прямой равно радиусу. Поскольку центр окружности находится на оси ординат, его координаты имеют вид ( (0, y) ).

Расстояние от точки ( (0, y) ) до прямой ( x = 5 ) вычисляется как:

[
\text{Расстояние} = |0 - 5| = 5
]

Это расстояние должно равняться радиусу ( r ):

[
r = 5
]

Теперь, поскольку окружность проходит через точку ( A(4, 2) ), мы можем использовать уравнение окружности, чтобы найти ( y ). Уравнение окружности имеет вид:

[
(x - 0)^2 + (y - r)^2 = r^2
]

Подставим в него точку ( A(4, 2) ):

[
(4 - 0)^2 + (2 - y)^2 = 5^2
]

Теперь осчитаем:

[
16 + (2 - y)^2 = 25
]

Упростим уравнение:

[
(2 - y)^2 = 25 - 16
]
[
(2 - y)^2 = 9
]

Теперь извлечем корень:

[
2 - y = 3 \quad \text{или} \quad 2 - y = -3
]

Решая первое уравнение:

[
2 - y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = -1
]

А теперь второе уравнение:

[
2 - y = -3 \quad \Rightarrow \quad y = 5
]

Итак, у нас есть два возможных значения для ( y ): ( -1 ) и ( 5 ). Однако, задача говорит о том, что окружность лежит только в I и IV четвертях, следовательно, ( y ) должно быть положительным.

Таким образом, мы получаем:

[
y = 5
]

Таким образом, координаты центра окружности:

[
(0, 5)
]

Ответ: координаты центра окружности: ( (0, 5) ).