Задача на алгебру: (1*2*3...*100)/5²⁵
Что получилось в знаменателе при сокращении

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти, что получилось в знаменателе при сокращении выражения
[
\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 100}{5^{25}},
]
нужно определить, сколько раз число 5 содержится в факториале (100!).

Для этого можно использовать формулу для определения количества простых множителей в факториале:
[
\sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor,
]
где (n = 100) и (p = 5).

Посчитаем:

(\left\lfloor \frac{100}{5^1} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20),(\left\lfloor \frac{100}{5^2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor = 4),(\left\lfloor \frac{100}{5^3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor = 0) (дальше уже не нужно считать, так как будет 0).

Теперь суммируем все найденные значения:
[
20 + 4 + 0 = 24.
]
Это значит, что (100!) содержит 24 множителя 5.

Теперь мы имеем выражение:
[
\frac{100!}{5^{25}}.
]
В числителе (100!) есть 24 множителя 5, поэтому мы можем сократить 24 множителя 5 из (5^{25}) в знаменателе, и в итоге в знаменателе останется:
[
5^{25 - 24} = 5^1.
]

Таким образом, в знаменателе после сокращения получится (5^1), то есть 5.