Задача с олимпиады по математике На квадратной пластинке со стороной 1 см сидит вирус-невидимка Вася. Он и доктор Петя
ходят по очереди. Очередным n-м ходом Петя рисует вакциной как чернилами отрезок длиной
1 микрон, а затем Вася должен выбрать направление и проползти в этом направлении по прямой
расстояние 1/n микрона (не выходя за край пластинки). Если Вася проползёт через любую из
точек с вакциной или коснётся её, он погибнет. Петя может действовать с любой точностью.
Может ли он за конечное число ходов наверняка погубить вирус?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нужно учитывать, что вирус-невидимка Вася может движется по квадратной пластинке размером 1 см (или 10,000 микрон) и его движения зависят от выбранного им направления.

Петя в каждом ходе рисует отрезок длиной 1 микрон. Он должен так располагать вакцину на плоскости, чтобы постепенно уменьшать область, в которой может находиться Вася, с каждым следующим ходом.

Из-за бесконечно малых размеров шагов Васи (1/n микрон с каждым n-м ходом), он не может выйти за пределы пластинки. Однако, за n ходов он может передвигаться на расстояние 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n микрон, что в пределе бесконечно приближается к некоторой конечной области.

Чтобы гарантированно погубить вирус, Петя может использовать стратегию "обжатия" – он постепенно будет рисовать отрезки так, чтобы они сужали доступное пространство для Васи. При этом он может рисовать линии, например, вдоль осей координат и постепенно переходить к их пересечению, тем самым покрывая всё больше пространств.

С увеличением числа ходов (n) и уменьшением доступного для хождения пространства (через вакцину) вероятность того, что Вася дотронется до вакцины возрастает. Благодаря этому гоельдит рекурсию, в которой каждый следующий шаг позволяет постепенно "закрывать" территорию вокруг Васи.

Таким образом, за конечное число ходов (при большом n) Петя сможет гарантированно загнать Васю в область, где он вынужден будет коснуться вакцины, погибнув.

Ответ: Да, Петя может гарантированно погубить вирус за конечное число ходов.