Число из двоек и пятёрок, которое делится на 2025 Дождливая Аня изучает натуральные числа, которые делятся на 2025 и имеют в своей десятичной записи только цифры 2 и 5. Сколько цифр в самом маленьком из таких чисел? И что это за число?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти самое маленькое натуральное число, состоящее только из цифр 2 и 5 и делящееся на 2025, необходимо сначала определить разложение числа 2025 на простые множители.

[
2025 = 5^2 \times 3^4
]

Таким образом, число, состоящее из цифр 2 и 5 и делящееся на 2025, должно содержать при делении на 25 (то есть два 5) и на 81 (то есть четыре 3). Поскольку число должно состоять только из цифр 2 и 5, мы рассмотрим, как оно будет выглядеть:

Почему важно, чтобы оно делилось на 25? Потому что конечные две цифры этого числа должны составлять 00, 25, 50 или 75. Однако на 2 и 5, если оно состоит из этих двух цифр, подойдёт только 25, в данной ситуации предполагая, что конечные цифры всегда 25 (т.е. последнее число должно быть 5 и предпоследнее 2).

Также следует учитывать количество цифр 3 в числе, так как для делимости на 81 сумма цифр должна быть кратна 9 (это минимальный набор 3, который вам может потребоваться, чтобы получить 81).

Таким образом, нам нужно составить число только из цифр 2 и 5, которое будет делиться на 2025.

Оценка числа:

Пусть ( N ) — нужное число. Оно может быть записано в виде:
[
N = 2^a \times 5^b
]
где ( a ) — количество 2 и ( b ) — количество 5. Чтобы удовлетворить условиям делимости на 81, требуется, чтобы сумма цифр ( S = 2a + 5b ) была кратна 9.

Поскольку число должно заканчиваться на 25, ( b ) должно быть по крайней мере 2 (чтобы иметь 25 в конце), а значит, ( b \geq 2 ).

Поскольку делимость на 81 требует, чтобы сумма цифр была кратна 9, последнее число будет:

[
S = 2a + 5b
]

Ввиду того, что 5 кратно 9, 2 значительно способствуют тому, что их число должно быть числом, чтобы общая сумма была кратной 9.

Исследуя, при каком минимальном количестве ( a ) и ( b ):

Сначала установите ( b = 2 ) как минимальное значение.Тогда
[
2a + 5 \cdot 2 = 2a + 10.
]
Для кратности 9, значение 10 может быть преодолено целыми числами, выставляя его равным 18, что даст минимально ( a = 4 ).

Итак, ориентируясь на набор:
[
b = 2 \Rightarrow 2
]
[
a = 4.
]

Поэтому у нас получится:
[
2^4 + 5^2 = 22225
]
на которое у нас минимальное число (всего 6 цифр).

Конечный ответ: число 2252 и минимальное количество цифр 6.