2sin0.5x-cos^2 x=1 решение уравнения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано уравнение: 2sin(0.5x) - cos^2(x) = 1

Заменим sin(0.5x) на 2sin(0.25x)cos(0.25x) (идентичность синуса половинного угла).

Таким образом, уравнение примет вид: 2*2sin(0.25x)cos(0.25x) - cos^2(x) = 1

4sin(0.25x)cos(0.25x) - cos^2(x) = 1

2sin(0.5x) - cos^2(x) = 1

Подставляем sin(0.5x) = sin(x) и cos(0.5x) = ±√(1-cos^2(x)) в уравнение:

4sin(x)cos(x) - cos^2(x) = 1
4sin(x)cos(x) = cos^2(x) + 1
2sin(2x) = 1 + cos(2x)

Применим формулу для sin(2x): sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

2sin(2x) = 1 + cos(2x)
2*2sin(x)cos(x) = 1 + (cos^2(x) - sin^2(x))
4sin(x)cos(x) = 1 + cos^2(x) - sin^2(x)

Используем идентичность: sin^2(x) + cos^2(x) = 1

4sin(x)cos(x) = 1 + 1 - sin^2(x) - sin^2(x)
4sin(x)cos(x) = 2 - 2sin^2(x)

4sin(x)cos(x) + 2sin^2(x) = 2

Формула замороженного аргумента: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) => 2sin(x)cos(x) + sin^2(x) = 1

Таким образом, решением уравнения будет x = pi*n, n - целое число.