Привести и доказать обобщенную теорему синусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обобщенная теорема синусов гласит, что для любого треугольника с углами A, B и C и сторонами a, b и c справедливо следующее соотношение:

sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c

Доказательство этой теоремы можно провести, исходя из свойств синусов треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC с углами A, B и C и сторонами a, b и c. Проведем высоты AD и BE, такие что AD перпендикулярна BC, а BE перпендикулярна AC.

Так как угол AED прямой, то sin(A) = DE/BD. Аналогично, sin(C) = DE/AE и sin(B) = BD/AE.

Из пропорций треугольников ADE и BDE можно найти DE/BD и DE/AE:

DE/BD = sin(A)
DE/AE = sin(C)

Из пропорций треугольников ADE и BCE можно найти BD/AE:

BD/AE = sin(B)

Следовательно, sin(A)/a = sin(C)/c = sin(B)/b. Теорема доказана.