6/Исследовать функцию построить график y=3x-x³
7/вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=4-x²,y=2-x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи найдем точки пересечения данных функций:

4 - x² = 2 - x
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, уравнение имеет два корня: x = 2 и x = -1.

Теперь находим соответствующие y-координаты для данных x:

Для x = 2:
y = 4 - 2² = 0
y = 2 - 2 = 0

Для x = -1:
y = 4 - (-1)² = 3
y = 2 - (-1) = 3

Итак, точки пересечения графиков: (-1, 3) и (2, 0).

Теперь вычислим точки экстремума функции y = 3x - x³:

y' = 3 - 3x²
Приравниваем к нулю и находим x:
3 - 3x² = 0
x² = 1
x = 1 и x = -1

Подставим x = 1 в исходную функцию:
y = 3*1 - 1³ = 2

Подставим x = -1 в исходную функцию:
y = 3*(-1) - (-1)³ = -4

Итак, точки экстремума функции: (1, 2) и (-1, -4).

Теперь построим график функции y = 3x - x³:

(График)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x² и y = 2 - x, нужно найти точки пересечения этих функций (которые мы уже нашли) и вычислить интеграл площади между ними. Интегрируем по x от -1 до 2:

∫[2-x, 4-x²] dx = ∫[2-x, 4-x²] (4-x² - (2-x)) dx
= ∫[2-x, 4-x²] (2 + x - x²) dx

Теперь выполняем интегрирование и находим площадь фигуры.